論文の概要: A quantum Pascal pyramid and an extended de Moivre-Laplace theorem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.03560v1
- Date: Thu, 4 Apr 2024 16:15:44 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-05 14:12:26.345966
- Title: A quantum Pascal pyramid and an extended de Moivre-Laplace theorem
- Title（参考訳）: 量子パスカルピラミッドと拡張 de Moivre-Laplace 定理
- Authors: Mohamed Sabba,
- Abstract要約: 我々は「量子パスカルピラミッド」をパスカルの三角形の一般化として記述する。
de Moivre-Laplace定理の拡張は、量子パスカルピラミッドの$q$thカラムに適用される。
量子パスカルピラミッドの最初の2つの列を用いて、S_z$$I_N S$スピン系におけるS_z$偏光転移の既知上界を計算する運動が示される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Pascal's triangle is widely used as a pedagogical tool to explain the "first-order" multiplet patterns that arise in the spectra of $I_N S$ coupled spin-1/2 systems in magnetic resonance. Various other combinatorial structures, which may be well-known in the broader field of quantum dynamics, appear to have largely escaped the attention of the magnetic resonance community with a few exceptions, despite potential usefulness. In this brief set of lecture notes, we describe a "quantum Pascal pyramid" (OEIS $\href{https://oeis.org/A268533}{A268533}$) as a generalization of Pascal's triangle, which is shown to directly map the relationship between multispin operators of arbitrary spin product rank $q$ ($\hat{Z}_N^q$) and population operators for states with magnetic quantum number $m$ ($\hat{S}_N^m$), and - as a consequence - obtain the general form of the intensity ratios of multiplets associated with antiphase single-quantum coherences, with an expression given in terms of the Jacobi polynomials. An extension of the de Moivre-Laplace theorem, beyond the trivial case $q=0$, is applied to the $q$-th columns of the quantum Pascal pyramid, and is given in terms of a product of the $q$-th order Hermite polynomials and a Gaussian distribution, reproducing the well-known functional forms of the solutions of the quantum harmonic oscillator and the classical limit of Hermite-Gaussian modes in laser physics (Allen et al., $\textit{Phys. Rev. A.}$, $\textbf{45}$, 1992). This is used to approximate the Fourier-transformed spectra of $\hat{Z}_N^q$-associated multiplets of arbitrary complexity. Finally, an exercise is shown in which the first two columns of the quantum Pascal pyramid are used to calculate the previously known symmetry-constrained upper bound on $I_z \rightarrow S_z$ polarization transfer in $I_N S$ spin systems.
- Abstract（参考訳）: パスカルの三角形は、磁気共鳴において$I_N S$結合スピン-1/2系のスペクトルに生じる「一階の」多重パターンを説明するための教育ツールとして広く用いられている。
量子力学の幅広い分野でよく知られる様々な組み合わせ構造は、潜在的な有用性にもかかわらず、いくつかの例外を除いて、磁気共鳴コミュニティの注意をほとんど逃がしたようである。
この短い講義ノートでは、「量子パスカルピラミッド」(OEIS $\href{https://oeis.org/A268533}{A268533}$)をパスカルの三角形の一般化として記述し、これは任意のスピン積ランク$q$$\hat{Z}_N^q$のマルチスピン作用素と磁気量子数$m$$\hat{S}_N^m$を持つ状態の集団作用素の関係を直接写像し、結果として、反相単量子コヒーレンスに関連する多重項の強度比の一般形式を得る。
デ・モイブル=ラプラスの定理の拡張は、自明な場合の$q=0$を超えて、量子パスカルピラミッドの$q$-番目の列に適用され、$q$-階エルミート多項式の積とガウス分布の項で与えられ、量子調和振動子の解のよく知られた関数形式とレーザー物理学におけるエルミート-ガウスモードの古典的な極限を再現する(Allen et al , $\textit{Phys)。
略称A。
}$, $\textbf{45}$, 1992)。
これは、任意の複雑性の$\hat{Z}_N^q$-associated multipletsのフーリエ変換スペクトルを近似するために用いられる。
最後に、量子パスカルピラミッドの最初の2つの列を用いて、スピン系における$I_N S_z$偏極転移の既知対称性制約上界を計算する運動が示される。
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