論文の概要: Optimized neural forms for solving ordinary differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.19454v1
• Date: Tue, 30 Apr 2024 11:10:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-05-01 14:34:58.854510
• Title: Optimized neural forms for solving ordinary differential equations
• Title（参考訳）: 常微分方程式を解くための最適化ニューラルフォーム
• Authors: Adam D. Kypriadis, Isaac E. Lagaris, Aristidis Likas, Konstantinos E. Parsopoulos,
• Abstract要約: ニューラルネットワークを用いた常微分方程式の近似解における重要な問題は、境界条件や初期条件の正確な満足度である。 本稿では、最適化されたニューラルフォームを作成するための新しいフォーマリズムを提案する。 また、正確な解から絶対偏差の上限を確立する方法も概説している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A critical issue in approximating solutions of ordinary differential equations using neural networks is the exact satisfaction of the boundary or initial conditions. For this purpose, neural forms have been introduced, i.e., functional expressions that depend on neural networks which, by design, satisfy the prescribed conditions exactly. Expanding upon prior progress, the present work contributes in three distinct aspects. First, it presents a novel formalism for crafting optimized neural forms. Second, it outlines a method for establishing an upper bound on the absolute deviation from the exact solution. Third, it introduces a technique for converting problems with Neumann or Robin conditions into equivalent problems with parametric Dirichlet conditions. The proposed optimized neural forms were numerically tested on a set of diverse problems, encompassing first-order and second-order ordinary differential equations, as well as first-order systems. Stiff and delay differential equations were also considered. The obtained solutions were compared against solutions obtained via Runge-Kutta methods and exact solutions wherever available. The reported results and analysis verify that in addition to the exact satisfaction of the boundary or initial conditions, optimized neural forms provide closed-form solutions of superior interpolation capability and controllable overall accuracy.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークを用いた常微分方程式の近似解における重要な問題は、境界条件や初期条件の正確な満足度である。 この目的のために、ニューラルネットワークに依存する機能表現、すなわち、設計によって所定の条件を正確に満たす機能表現が導入された。 先行する進歩により、本研究は3つの異なる側面に寄与する。 まず、最適化されたニューラルフォームを作るための新しいフォーマリズムを示す。 第二に、正確な解から絶対偏差の上限を確立する方法の概要を示す。 第三に、ノイマン条件やロビン条件の問題をパラメトリックディリクレ条件の等価問題に変換する手法を導入する。 提案した最適化されたニューラルフォームは、一階と二階の常微分方程式と一階のシステムを含む様々な問題に対して数値的に試験された。 剛性および遅延微分方程式も検討された。 得られた解は, ルンゲ・クッタ法を用いて得られる解と, 利用可能な正確な解とを比較した。 報告された結果と分析により、境界条件や初期条件の正確な満足度に加えて、最適化されたニューラルフォームは、優れた補間能力と制御可能な全体的な精度のクローズドフォームソリューションを提供することを確認した。

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