論文の概要: Physics-informed deep learning and compressive collocation for high-dimensional diffusion-reaction equations: practical existence theory and numerics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.01539v1
- Date: Mon, 3 Jun 2024 17:16:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-05 22:00:59.779780
- Title: Physics-informed deep learning and compressive collocation for high-dimensional diffusion-reaction equations: practical existence theory and numerics
- Title（参考訳）: 物理インフォームド深層学習と高次元拡散反応方程式の圧縮コロケーション:実用的存在論と数値
- Authors: Simone Brugiapaglia, Nick Dexter, Samir Karam, Weiqi Wang,
- Abstract要約: ディープラーニング(DL)に基づく高次元偏微分方程式の効率的な解法の開発と解析
理論的にも数値的にも,新しい安定かつ高精度なスペクトルコロケーション法と競合できることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.380276949049726
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: On the forefront of scientific computing, Deep Learning (DL), i.e., machine learning with Deep Neural Networks (DNNs), has emerged a powerful new tool for solving Partial Differential Equations (PDEs). It has been observed that DNNs are particularly well suited to weakening the effect of the curse of dimensionality, a term coined by Richard E. Bellman in the late `50s to describe challenges such as the exponential dependence of the sample complexity, i.e., the number of samples required to solve an approximation problem, on the dimension of the ambient space. However, although DNNs have been used to solve PDEs since the `90s, the literature underpinning their mathematical efficiency in terms of numerical analysis (i.e., stability, accuracy, and sample complexity), is only recently beginning to emerge. In this paper, we leverage recent advancements in function approximation using sparsity-based techniques and random sampling to develop and analyze an efficient high-dimensional PDE solver based on DL. We show, both theoretically and numerically, that it can compete with a novel stable and accurate compressive spectral collocation method. In particular, we demonstrate a new practical existence theorem, which establishes the existence of a class of trainable DNNs with suitable bounds on the network architecture and a sufficient condition on the sample complexity, with logarithmic or, at worst, linear scaling in dimension, such that the resulting networks stably and accurately approximate a diffusion-reaction PDE with high probability.
- Abstract（参考訳）: 科学計算の最前線では、Deep Learning(DL)、すなわちDeep Neural Networks(DNN)による機械学習が、部分微分方程式(PDE)を解く強力な新しいツールとして登場した。
DNNは特に、50年代後半にリチャード・ベルマン(Richard E. Bellman)が提唱した「次元の呪い」の効果を弱めるのに適している。
しかし、DNNは90年代以降、PDEの解法として使われてきたが、数値解析(安定性、精度、サンプルの複雑さなど)でそれらの数学的効率を支えている文献は、最近現れ始めたばかりである。
本稿では,分散度に基づく手法とランダムサンプリングを用いた関数近似の最近の進歩を活用し,DLに基づく効率的な高次元PDEソルバの開発と解析を行う。
理論的にも数値的にも,新しい安定かつ高精度なスペクトルコロケーション法と競合できることを示す。
特に,ネットワークアーキテクチャに適切な境界を持つ訓練可能なDNNのクラスと,サンプルの複雑性に十分な条件が存在すること,対数的あるいは最悪の場合,ネットワークが安定かつ正確に拡散反応PDEを高い確率で近似できるような次元の線形スケーリングが存在すること,という新たな実用的存在定理を実証する。
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