論文の概要: Finite Operator Learning: Bridging Neural Operators and Numerical Methods for Efficient Parametric Solution and Optimization of PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.04157v1
- Date: Thu, 4 Jul 2024 21:23:12 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-08 15:00:44.283364
- Title: Finite Operator Learning: Bridging Neural Operators and Numerical Methods for Efficient Parametric Solution and Optimization of PDEs
- Title（参考訳）: 有限演算子学習 : ブリッジングニューラル演算子と効率的パラメトリック解の数値解法とPDEの最適化
- Authors: Shahed Rezaei, Reza Najian Asl, Kianoosh Taghikhani, Ahmad Moeineddin, Michael Kaliske, Markus Apel,
- Abstract要約: 本稿では,ニューラルネットワーク,物理情報処理機械学習,およびPDEを解くための標準的な数値法を組み合わせた手法を提案する。
データのない方法で偏微分方程式をパラメトリックに解き、正確な感度を与えることができる。
本研究では, 不均一材料中の定常熱方程式に着目した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: We introduce a method that combines neural operators, physics-informed machine learning, and standard numerical methods for solving PDEs. The proposed approach extends each of the aforementioned methods and unifies them within a single framework. We can parametrically solve partial differential equations in a data-free manner and provide accurate sensitivities, meaning the derivatives of the solution space with respect to the design space. These capabilities enable gradient-based optimization without the typical sensitivity analysis costs, unlike adjoint methods that scale directly with the number of response functions. Our Finite Operator Learning (FOL) approach uses an uncomplicated feed-forward neural network model to directly map the discrete design space (i.e. parametric input space) to the discrete solution space (i.e. finite number of sensor points in the arbitrary shape domain) ensuring compliance with physical laws by designing them into loss functions. The discretized governing equations, as well as the design and solution spaces, can be derived from any well-established numerical techniques. In this work, we employ the Finite Element Method (FEM) to approximate fields and their spatial derivatives. Subsequently, we conduct Sobolev training to minimize a multi-objective loss function, which includes the discretized weak form of the energy functional, boundary conditions violations, and the stationarity of the residuals with respect to the design variables. Our study focuses on the steady-state heat equation within heterogeneous materials that exhibits significant phase contrast and possibly temperature-dependent conductivity. The network's tangent matrix is directly used for gradient-based optimization to improve the microstructure's heat transfer characteristics. ...
- Abstract（参考訳）: 本稿では,ニューラルネットワーク,物理情報処理機械学習,およびPDEを解くための標準的な数値法を組み合わせた手法を提案する。
提案手法は、上記の各メソッドを拡張し、それらを単一のフレームワークに統合する。
データフリーな方法で偏微分方程式をパラメトリックに解き、正確な感度、すなわち設計空間に関する解空間の微分を与えることができる。
これらの機能は、応答関数の数に直接スケールする随伴法とは異なり、典型的な感度解析コストなしで勾配に基づく最適化を可能にする。
我々のFOL(Finite Operator Learning)アプローチでは、複雑でないフィードフォワードニューラルネットワークモデルを使用して、離散的な設計空間(パラメトリック入力空間)を直接離散的なソリューション空間(任意の形状領域における有限個のセンサポイント)にマッピングし、それらを損失関数に設計することで物理法則に準拠する。
離散化された支配方程式は、設計や解空間と同様に、確立された任意の数値技術から導出することができる。
本研究ではフィールドとその空間微分を近似するために有限要素法(FEM)を用いる。
その後、エネルギー汎関数の離散化弱形、境界条件違反、設計変数に対する残留物の定常性を含む多目的損失関数を最小化するためにソボレフ訓練を行う。
本研究は, 相コントラストに有意な温度依存性を示す不均一材料中の定常熱方程式に着目した。
ネットワークの接点行列は、組織の熱伝達特性を改善するために勾配に基づく最適化に直接使用される。
はぁ...。
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