Fugu-MT 論文翻訳(概要): Unitary Designs from Random Symmetric Quantum Circuits

論文の概要: Unitary Designs from Random Symmetric Quantum Circuits

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.14463v2
Date: Tue, 15 Oct 2024 06:59:16 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2024-11-08 05:04:12.036008
Title: Unitary Designs from Random Symmetric Quantum Circuits
Title（参考訳）: ランダム対称性量子回路によるユニタリ設計
Authors: Hanqing Liu, Austin Hulse, Iman Marvian,
Abstract要約: 対称反射ゲートのみを含むランダム量子回路によって生成されるユニタリの分布について検討する。このような分布の正確な設計特性を決定する方程式を得る。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8192907805418583
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: In this work, we study distributions of unitaries generated by random quantum circuits containing only symmetry-respecting gates. We develop a unified approach applicable to all symmetry groups and obtain an equation that determines the exact design properties of such distributions. It has been recently shown that the locality of gates imposes various constraints on realizable unitaries, which in general, significantly depend on the symmetry under consideration. These constraints typically include restrictions on the relative phases between sectors with inequivalent irreducible representations of the symmetry. We call a set of symmetric gates semi-universal if they realize all unitaries that respect the symmetry, up to such restrictions. For instance, while 2-qubit gates are semi-universal for $\mathbb{Z}_2$, U(1), and SU(2) symmetries in qubit systems, SU(d) symmetry with $d\ge 3$ requires 3-qudit gates for semi-universality. Failure of semi-universality precludes the distribution generated by the random circuits from being even a 2-design for the Haar distribution over symmetry-respecting unitaries. On the other hand, when semi-universality holds, under mild conditions, satisfied by U(1) and SU(2) for example, the distribution becomes a $t$-design for $t$ growing polynomially with the number of qudits, where the degree is determined by the locality of gates. More generally, we present a simple linear equation that determines the maximum integer $t_{\max}$ for which the uniform distribution of unitaries generated by the circuits is a $t$-design for all $t\leq t_{\max}$. Notably, for U(1), SU(2) and cyclic groups, we determine the exact value of $t_{\max}$ as a function of the number of qubits and locality of the gates, and for SU(d), we determine the exact value of $t_{\max}$ for up to $4$-qudit gates.
Abstract（参考訳）: 本研究では,対称反射ゲートのみを含むランダム量子回路によって生成されるユニタリの分布について検討する。すべての対称性群に適用可能な統一的なアプローチを開発し、そのような分布の正確な設計特性を決定する方程式を得る。近年、ゲートの局所性は実現可能なユニタリに様々な制約を課すことが示されており、これは一般に、検討中の対称性に大きく依存する。これらの制約は通常、対称性の同値な既約表現を持つセクター間の相対位相に関する制限を含む。対称ゲートの集合を半ユニバーサルと呼び、それらが対称性を尊重するすべてのユニタリをそのような制限まで実現している。例えば、2-立方体ゲートは qubit 系における $\mathbb{Z}_2$, U(1), SU(2) 対称性の半ユニバーサルであるが、$d\ge 3$ の SU(d) 対称性は半ユニバーサルに対して 3-立方体ゲートを必要とする。半ユニバーサリティの失敗は、ランダム回路が生成した分布が対称性を無視するユニタリ上のハール分布の2-設計でさえも妨げない。一方、半ユニバーシティが穏やかな条件下で U(1) と SU(2) によって満たされるとき、分布は、門の局所性によって決定される四重項の数と多項式的に成長する $t$ に対して $t$-design となる。より一般に、回路によって生成されるユニタリの均一分布がすべての$t\leq t_{\max}$に対して$t$-designとなるような最大整数 $t_{\max}$ を決定する単純な線型方程式を示す。特に、U(1), SU(2) および巡回群に対して、各ゲートの量子ビット数と局所性の関数として $t_{\max}$ の正確な値を決定し、SU(d) に対して、最大4$量子ゲートに対して $t_{\max}$ の正確な値を決定する。

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