論文の概要: Fixed Points of Completely Positive Trace-Preserving Maps in Infinite Dimension

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.14800v1
• Date: Fri, 22 Nov 2024 08:50:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-25 15:02:33.629365
• Title: Fixed Points of Completely Positive Trace-Preserving Maps in Infinite Dimension
• Title（参考訳）: 無限次元の完全正のトレース保存写像の固定点
• Authors: Roderich Tumulka, Jonte Weixler,
• Abstract要約: ここでは、ある追加の仮定の下で不動点が存在することを証明する。 この問題の動機は、閉時間のような曲線を持つ時空で量子論を定義する方法に関するDeutschの提案から来ています。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Completely positive trace-preserving maps $S$, also known as quantum channels, arise in quantum physics as a description of how the density operator $\rho$ of a system changes in a given time interval, allowing not only for unitary evolution but arbitrary operations including measurements or other interaction with an environment. It is known that if the Hilbert space $\mathscr{H}$ that $\rho$ acts on is finite-dimensional, then every $S$ must have a fixed point, i.e., a density operator $\rho_0$ with $S(\rho_0)=\rho_0$. In infinite dimension, $S$ need not have a fixed point in general. However, we prove here the existence of a fixed point under a certain additional assumption which is, roughly speaking, that $S$ leaves invariant a certain set of density operators with bounded ``cost'' of preparation. The proof is an application of the Schauder-Tychonoff fixed point theorem. Our motivation for this question comes from a proposal of Deutsch for how to define quantum theory in a space-time with closed timelike curves; our result supports the viability of Deutsch's proposal.
• Abstract（参考訳）: 量子チャネルとしても知られる完全な正のトレース保存写像$S$は、密度演算子の$\rho$が与えられた時間間隔でどのように変化するかを記述した量子物理学において発生し、ユニタリ進化だけでなく、測定や環境との相互作用を含む任意の操作も可能である。 ヒルベルト空間 $\mathscr{H}$ が作用すると、$\rho$ が有限次元であれば、すべての $S$ は固定点、すなわち、密度作用素 $\rho_0$ と $S(\rho_0)=\rho_0$ を持つ必要があることが知られている。 無限次元では、$S$は一般に不動点を持つ必要はない。 しかし、ここでは、大まかに言えば、$S$が準備の「コスト」の有界なある密度作用素の集合を不変にしておくという、ある追加の仮定の下での固定点の存在を証明している。 この証明はシューダー=ティコノフの不動点定理の応用である。 この問題の動機は、閉じた時間のような曲線を持つ時空で量子論を定義する方法に関するDeutschの提案から来ています。

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