論文の概要: Dirac-von Neumann Axiomatic Structure for Classical Electromagnetism
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.01995v2
- Date: Sun, 18 May 2025 08:23:23 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-05-20 17:08:51.837332
- Title: Dirac-von Neumann Axiomatic Structure for Classical Electromagnetism
- Title（参考訳）: 古典的電磁磁性のためのディラック・ヴォン・ノイマン公理構造
- Authors: Daniel W. Piasecki,
- Abstract要約: 我々は,Hermitian演算子を持つ複素ヒルベルト空間の存在を,古典的電磁気学の計算のために示す。
また、波動可換関係 $[hatx,hatk]=i$ の存在を実証し、これは標準可換作用素 $[hatx,hatp]=ihbar$ のユニークな古典的な類似点である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We demonstrate the existence of a complex Hilbert Space with Hermitian operators for calculations in \textit{classical} electromagnetism that parallels the Hilbert Space of quantum mechanics. The axioms of this classical theory are the so-called Dirac-von Neumann axioms, however, with classical potentials in place of the wavefunction and the indeterministic collapse postulate removed. This approach lets us derive a variety of fundamental expressions for electromagnetism using minimal mathematics and a calculation sequence well-known for traditional quantum mechanics. We also demonstrate the existence of the wave commutation relationship $[\hat{x},\hat{k}]=i$, which is a unique classical analogue to the canonical commutator $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$. The difference between classical and quantum mechanics lies in the presence of $\hbar$. As far as we are aware, this is the first report of noncommutativity of observables for a classical theory, which simply reflects its wavenature. A classical analogue of the Heisenberg Uncertainty Principle is developed for electromagnetic waves, and its implications discussed. Further comparisons between electromagnetism, Koopman-von Neumann-Sudarshan (KvNS) classical mechanics (for point particles), and quantum mechanics are made. Finally, supplementing the analysis presented, we additionally demonstrate an elegant, completely relativistic version of Feynman's proof of Maxwell's equations \citep{Dyson}. Unlike what \citet{Dyson} indicated, there is no need for Galilean relativity for the proof to work. This fits parsimoniously with our usage of classical Lie commutators for electromagnetism.
- Abstract（参考訳）: 我々は、量子力学のヒルベルト空間と平行な {textit{classical} 電磁気学における計算のために、エルミート作用素を持つ複素ヒルベルト空間の存在を実証する。
この古典理論の公理はいわゆるディラック・ヴォン・ノイマン公理であるが、波動関数の代わりに古典ポテンシャルと非決定論的崩壊仮定が取り除かれる。
このアプローチは、最小限の数学と従来の量子力学でよく知られた計算シーケンスを用いて、電磁磁性の様々な基礎表現を導出する。
また、波動可換関係 $[\hat{x},\hat{k}]=i$ の存在を実証し、これは標準可換作用素 $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$ のユニークな古典的類推である。
古典力学と量子力学の違いは、$\hbar$の存在にある。
私たちが知る限り、これは古典理論における可観測物の非可換性に関する最初の報告であり、単にその波動を反映している。
電磁波に対するハイゼンベルク不確実性原理の古典的な類似点とその意味を論じる。
電磁気学、クープマン・フォン・ノイマン・スダルシャン(KvNS)古典力学(点粒子)、量子力学のさらなる比較を行う。
最後に、提示された解析を補完し、マクスウェル方程式のファインマンの証明をエレガントで完全に相対論的に証明する。
\citet{Dyson} が示しているものとは異なり、証明が機能するガリレオ相対性理論は必要ない。
これは、電磁気学における古典的リー換算器の使用と類似している。
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