論文の概要: Conserved Quantities in Linear and Nonlinear Quantum Search
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.06423v1
- Date: Sun, 09 Mar 2025 03:38:11 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-11 15:47:21.651163
- Title: Conserved Quantities in Linear and Nonlinear Quantum Search
- Title（参考訳）: 線形および非線形量子探索における保存量
- Authors: David A. Meyer, Thomas G. Wong,
- Abstract要約: 3つのアルゴリズムを調べることで、量子コンピューティングアルゴリズム、保存法則、および多体量子システムの分野を橋渡しする。
第1のアルゴリズムは線形量子ウォークを用い, 基本計算を適用し, アルゴリズムの成功確率が1。
第二のアルゴリズムは、実効的なハミルトニアン$H(t) = lambda|psi|2$を持つ非線形量子ウォークを用いており、これはボース=アインシュタイン凝縮を記述するグロス=ピタエフスキー方程式に現れる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: In this tutorial, which contains some original results, we bridge the fields of quantum computing algorithms, conservation laws, and many-body quantum systems by examining three algorithms for searching an unordered database of size $N$ using a continuous-time quantum walk, which is the quantum analogue of a continuous-time random walk. The first algorithm uses a linear quantum walk, and we apply elementary calculus to show that the success probability of the algorithm reaches 1 when the jumping rate of the walk takes some critical value. We show that the expected value of its Hamiltonian $H_0$ is conserved. The second algorithm uses a nonlinear quantum walk with effective Hamiltonian $H(t) = H_0 + \lambda|\psi|^2$, which arises in the Gross-Pitaevskii equation describing Bose-Einstein condensates. When the interactions between the bosons are repulsive, $\lambda > 0$, and there exists a range of fixed jumping rates such that the success probability reaches 1 with the same asymptotic runtime of the linear algorithm, but with a larger multiplicative constant. Rather than the effective Hamiltonian, we show that the expected value of $H_0 + \frac{1}{2} \lambda|\psi|^2$ is conserved. The third algorithm utilizes attractive interactions, corresponding to $\lambda < 0$. In this case there is a time-varying critical function for the jumping rate $\gamma_c(t)$ that causes the success probability to reach 1 more quickly than in the other two algorithms, and we show that the expected value of $H(t)/[\gamma_c(t) N]$ is conserved.
- Abstract（参考訳）: 本チュートリアルでは, 量子コンピューティングアルゴリズム, 保存法則, および多体量子システムの分野を, 連続時間ランダムウォークの量子アナログである連続時間量子ウォークを用いて, N$の未順序データベースを探索する3つのアルゴリズムを用いて橋渡しする。
第1のアルゴリズムは線形量子ウォークを用い, 基本計算を適用し, ウォークの跳躍速度が重要な値を取ると, アルゴリズムの成功確率が1に達することを示す。
我々は、ハミルトニアン$H_0$の期待値が保存されていることを示す。
第二のアルゴリズムは、実効的なハミルトニアン$H(t) = H_0 + \lambda|\psi|^2$の非線形量子ウォークを用いており、これはボース=アインシュタイン凝縮を記述するグロス=ピタエフスキー方程式に現れる。
ボソン間の相互作用が反発的であるとき、$\lambda > 0$ であり、成功確率が線形アルゴリズムの同じ漸近的ランタイムで 1 に達するような、より大きい乗法定数を持つような固定ジャンプ率が存在する。
実効ハミルトニアンよりも、$H_0 + \frac{1}{2} \lambda|\psi|^2$ の期待値は保存されていることを示す。
第3のアルゴリズムは、$\lambda < 0$に対応する魅力的な相互作用を利用する。
この場合、ジャンプレート $\gamma_c(t)$ に対する時間変化臨界関数が存在し、他の2つのアルゴリズムよりも成功確率が 1 に早く到達し、期待値 $H(t)/[\gamma_c(t) N]$ が保存されていることを示す。
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