論文の概要: Structure-preserving Lift & Learn: Scientific machine learning for nonlinear conservative partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.00301v1
• Date: Mon, 30 Jun 2025 22:35:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-03 14:22:59.044021
• Title: Structure-preserving Lift & Learn: Scientific machine learning for nonlinear conservative partial differential equations
• Title（参考訳）: 構造保存リフトと学習:非保守的偏微分方程式の科学的機械学習
• Authors: Harsh Sharma, Juan Diego Draxl Giannoni, Boris Kramer,
• Abstract要約: この研究は、可変変換を持ち上げて低次モデルを学習する機械学習手法である構造保存Lift & Learnを提示する。 提案手法は,精度と計算効率の両面から,最先端構造保存型データ駆動型モデル削減手法と競合することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6554326244334868
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This work presents structure-preserving Lift & Learn, a scientific machine learning method that employs lifting variable transformations to learn structure-preserving reduced-order models for nonlinear partial differential equations (PDEs) with conservation laws. We propose a hybrid learning approach based on a recently developed energy-quadratization strategy that uses knowledge of the nonlinearity at the PDE level to derive an equivalent quadratic lifted system with quadratic system energy. The lifted dynamics obtained via energy quadratization are linear in the old variables, making model learning very effective in the lifted setting. Based on the lifted quadratic PDE model form, the proposed method derives quadratic reduced terms analytically and then uses those derived terms to formulate a constrained optimization problem to learn the remaining linear reduced operators in a structure-preserving way. The proposed hybrid learning approach yields computationally efficient quadratic reduced-order models that respect the underlying physics of the high-dimensional problem. We demonstrate the generalizability of quadratic models learned via the proposed structure-preserving Lift & Learn method through three numerical examples: the one-dimensional wave equation with exponential nonlinearity, the two-dimensional sine-Gordon equation, and the two-dimensional Klein-Gordon-Zakharov equations. The numerical results show that the proposed learning approach is competitive with the state-of-the-art structure-preserving data-driven model reduction method in terms of both accuracy and computational efficiency.
• Abstract（参考訳）: 本研究は, 非線形偏微分方程式(PDE)の構造保存縮小次モデル(英語版)を保存則で学習するために, 可変変換を持ち上げる科学的機械学習手法である, 構造保存リフト&ラーニングを提案する。 本稿では,PDEレベルにおける非線形性に関する知識を用いて,2次系エネルギーを持つ等価な2次昇降系を導出する,最近開発されたエネルギー四量体化戦略に基づくハイブリッド学習手法を提案する。 エネルギー四元化によって得られる持ち上げ力学は、古い変数では線形であり、持ち上げ設定においてモデル学習が非常に効果的である。 昇降2次PDEモデル形式に基づいて,提案手法は2次減算項を解析的に導出し,その導出項を用いて制約付き最適化問題を定式化し,残りの線形減算演算子を構造保存的に学習する。 提案したハイブリッド学習手法は、高次元問題の基礎となる物理を尊重する計算効率のよい2次還元次モデルを生成する。 提案した構造保存リフト・アンド・ラーニング法を用いて学習した二次モデルの一般化可能性について, 指数非線形性をもつ1次元波動方程式, 2次元シネ・ゴルドン方程式, 2次元クライン・ゴルドン・ザカロフ方程式の3つの数値例を用いて示す。 数値的な結果から,提案手法は,精度と計算効率の両面から,最先端構造保存型データ駆動型モデル削減手法と競合することが示された。

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