論文の概要: Non-additive measures for quantum probability?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.11735v1
• Date: Tue, 15 Jul 2025 21:05:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-17 19:00:11.154486
• Title: Non-additive measures for quantum probability?
• Title（参考訳）: 量子確率の非付加測度?
• Authors: Gabriele Carcassi, Christine A. Aidala,
• Abstract要約: 量子確率が古典的なコルモゴロフ確率計算に従わないことは十分に確立されている。 確率計算の適切な拡張は、加法的でない測度を使う必要があるかもしれない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: It is well-established that quantum probability does not follow classical Kolmogorov probability calculus. Various approaches have been developed to loosen the axioms, of which the use of signed measures is the most successful (e.g. the Wigner quasiprobability distribution). As part of our larger effort Assumptions of Physics, we have been considering the various roles of measures, which are used in physics not only for probability, but also to quantify the count of possible states and configurations. These measures play a crucial role in classical mechanics, as they effectively define its geometric structure. If one tries to construct a parallel in quantum mechanics, the measure to quantify the count of states turns out to be non-additive. The proper extension of probability calculus may require the use of non-additive measures, which is something that, to our knowledge, has not yet been explored. The purpose of this paper is to present the general idea and the open problems to an audience that is knowledgeable of the subject of non-additive set functions, though not necessarily in quantum physics, in the hope that it will spark helpful discussions. We go through the motivation in simple terms, which stems from the link between the entropy of a uniform distribution and the logarithm of the measure associated to its support. If one extends this notion to quantum mechanics, the associated measure is non-additive. We will explore some properties of this "quantum measure", its reasonableness in terms of the physics, but its peculiarity on the math side. We will explore the need for a set of properties that can properly characterize the measure and a generalization of the Radon-Nikodym derivative to define a properly extended probability calculus that reduces to the standard additive one on sets of physically distinguishable cases (i.e. orthogonal measurement outcomes).
• Abstract（参考訳）: 量子確率が古典的なコルモゴロフ確率計算に従わないことは十分に確立されている。 符号付き測度の使用が最も成功した公理(例えばウィグナー準確率分布)を緩めるための様々なアプローチが開発されている。 我々のより大きな努力の一環として、確率だけでなく、可能な状態や構成の数を定量化するために、物理学で使われる様々な測度の役割を検討してきた。 これらの測度は、幾何学的構造を効果的に定義するため、古典力学において重要な役割を果たす。 量子力学において並列性を構築しようとすると、状態の数を定量化する測度は非加法であることが判明する。 確率計算の適切な拡張は、我々の知識にはまだ探求されていないような、非加法的測度の使用を必要とするかもしれない。 本研究の目的は, 量子物理学に限らず, 非加法的集合関数の主題に精通している聴衆に, 一般のアイデアとオープンな問題を提示することである。 この動機は、一様分布のエントロピーと、その支持に関連する測度の対数との結びつきに起因している。 この概念を量子力学に拡張するならば、関連する測度は非加法的である。 この「量子測度(quantum measure)」のいくつかの性質、物理学の観点からは理性であるが、数学側では特異性について検討する。 測度を適切に特徴づける性質の集合と、Randon-Nikodym微分を一般化して、物理的に区別可能なケースの集合(直交的な測定結果)の標準加法に還元する適切な拡張確率計算を定義することの必要性を検討する。

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