Fugu-MT 論文翻訳(概要): Quantum Mechanics in a Spherical Wedge: Complete Solution and Implications for Angular Momentum Theory

論文の概要: Quantum Mechanics in a Spherical Wedge: Complete Solution and Implications for Angular Momentum Theory

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.17558v1
Date: Fri, 19 Dec 2025 13:28:40 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2025-12-22 19:25:54.398499
Title: Quantum Mechanics in a Spherical Wedge: Complete Solution and Implications for Angular Momentum Theory
Title（参考訳）: 球面ウェッジにおける量子力学:完全解法と角運動量理論への応用
Authors: Mustafa Bakr, Smain Amari,
Abstract要約: 3次元球面くさびに制限された粒子に対する定常シュルディンガー方程式を解く。このモデルは、対称性を破るBCの下でスペクトル再構成を示す。これは角運動量量子化に関する作用素領域の視点を提供する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: We solve the stationary Schrödinger equation for a particle confined to a 3D spherical wedge -- the region $\{(r,θ,φ): 0 \leq r \leq R,\, 0 \leq θ\leq π,\, 0 \leq φ\leq Φ\}$ with Dirichlet BCs on all surfaces. This exactly solvable constrained-domain model exhibits spectral reorganisation under symmetry-breaking BCs and provides an operator-domain viewpoint on angular momentum quantisation. We obtain three main results. First, the stationary states are standing waves in the azimuthal coordinate and consequently are \emph{not} eigenstates of $\hat{L}_z$; we prove $\langle L_z \rangle = 0$ with $ΔL_z = \hbar n_φπ/Φ\neq 0$, demonstrating that angular momentum projection becomes an observable with genuine quantum uncertainty rather than a good quantum number. Second, the effective azimuthal quantum number $μ= n_φπ/Φ$ is generically non-integer, and square-integrability of the polar wavefunctions at both poles requires the angular eigenvalue parameter $ν$ to satisfy $ν- μ\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. This regularity constraint yields a hierarchy: sectoral solutions ($ν= μ$, satisfying the first-order highest-weight condition) exist for any real $μ> 0$, while tesseral and zonal solutions require integer steps, appearing only when $μ$ itself is integer. Third, application to a Coulomb potential shows that the familiar integer angular momentum spectrum of hydrogen arises from the periodic identification $φ\sim φ+ 2π$ that defines the full-sphere Hilbert space domain; modified boundary conditions yield a reorganised spectrum with non-integer effective angular momentum. The model clarifies the distinct roles of single-valuedness (selecting integer $m$ via azimuthal topology) and polar regularity (selecting integer $\ell \geq |m|$ via analytic constraints) in the standard quantisation of orbital angular momentum.
Abstract（参考訳）: 3次元球面ウェッジに制限された粒子に対する定常シュレーディンガー方程式を解く -- 領域 $\{(r,θ,φ): 0 \leq r \leq R,\, 0 \leq θ\leq π,\, 0 \leq φ\leq \\}$ はすべての面にディリクレ BC を持つ。この正確な可解な制約付き領域モデルは、対称性を破るBCの下でスペクトル再構成を示し、角運動量量子化に関する作用素領域の視点を提供する。主な成果は3つある。まず、定常状態はアジマタール座標における定常波であり、従って$\hat{L}_z$ の固有状態であり、$\langle L_z \rangle = 0$ with $ΔL_z = \hbar n_φπ/>\neq 0$ であることを証明する。第二に、実効的なアジムタール量子数 $μ=n_φπ/>$ は一般の非整数であり、両極における極波関数の正方積分性は、$ν-μ\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$を満たすために角固有値パラメータ $ν$ を必要とする。この正則性制約は階層を与える: 任意の実数$μ> 0$に対してセクター解(ν=μ$、一階の最高重み条件を満たす)が存在し、テッセル解とゾン解は整数ステップを必要とし、$μ$自身が整数であるときにのみ現れる。第3に、クーロンポテンシャルへの応用は、水素の親しみやすい整数角運動量スペクトルが、フルスフィアヒルベルト空間領域を定義する周期同定$φ\sim φ+ 2π$から生じることを示している。このモデルは、軌道角運動量の標準量子化における単値性(アジムタル位相による整数$m$の選択)と極正則性(解析的制約による整数$\ell \geq |m|$の選択)の異なる役割を明らかにする。

論文の概要: Quantum Mechanics in a Spherical Wedge: Complete Solution and Implications for Angular Momentum Theory

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