論文の概要: Algebra of quantum mechanics via classical phonons. II: Klein-Gordon dynamics, the Heisenberg formalism, the Dirac canonical commutation rule and the Poincare algebra through the continuous Poisson bracket formalism
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.03909v2
- Date: Sat, 11 Jul 2026 11:36:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-14 13:33:35.650802
- Title: Algebra of quantum mechanics via classical phonons. II: Klein-Gordon dynamics, the Heisenberg formalism, the Dirac canonical commutation rule and the Poincare algebra through the continuous Poisson bracket formalism
- Title（参考訳）: 古典的フォノンによる量子力学の代数 II:クライン=ゴルドン力学、ハイゼンベルク形式主義、ディラック標準可換規則、ポインケア代数
- Authors: Emmanuel Giner,
- Abstract要約: この級数の最初の部分では、単一粒子に対するシュロディンガー方程式は純粋に古典的なフォノンモデルから得られることを示した。
この研究では、代わりに、同じフォノン系に適用された古典的ハミルトン形式が、単一のスピンレス粒子に対する相対論的量子力学の特徴を回復する方法について焦点を当てる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: In the first part of this series we have shown how the Schrodinger equation for a single particle and the corresponding non relativistic quantum observables can be obtained from a purely classical phonon model through the Newtonian equations of motion. In this work we focus instead on how the classical Hamiltonian formalism applied to the same phonon system allows to recover the feature of relativistic quantum mechanics for a single spinless particle. Using the classical nature of the phonon model, we naturally define continuous Poisson brackets between classical observables, which allows to recover the dynamics of such observables, i.e. the Ehrenfest relations associated to real-valued Klein-Gordon fields. The Poisson brackets also permits to obtain the generic form of constants of motions, thus generalizing the concept of inner products and momentum on Klein-Gordon fields. We then connect the formalism of real-valued classical functionals with that of hermitian operators and complex-valued wave functions. This is done through the introduction of a non-local complex-valued change of variables which allows to rewrite the real-valued Klein-Gordon equation in a form akin to the Schrodinger equation, and the classical observables as quantum expectation values. Then, we show how this change of variables allows to rewrite the classical Poisson brackets as commutators of hermitian operators. This points out the strict equivalence between the Heisenberg formalism and the formalism of classical Poisson bracket. Eventually, we illustrate how the Poisson brackets allows to recover the transformations of Poincare group in 1+1 dimension together with its algebra. The latter makes the link between the Lorentz invariant inner product of Mostafazadeh and the Casimir invariant associated to the mass of particle.
- Abstract（参考訳）: この級数の最初の部分では、単一粒子に対するシュロディンガー方程式とそれに対応する非相対論的量子オブザーバブルが、ニュートンの運動方程式を通じて純粋に古典的なフォノンモデルから得られることを示した。
この研究では、代わりに、同じフォノン系に適用された古典的ハミルトン形式が、単一のスピンレス粒子に対する相対論的量子力学の特徴を回復する方法について焦点を当てる。
フォノン模型の古典的性質を用いて、古典的可観測物の間の連続ポアソン括弧を自然に定義し、そのような可観測物の力学、すなわち実数値クライン=ゴードン場に関連するエレンフェストの関係を回復することができる。
ポアソンブラケットはまた、運動の定数の一般的な形式を得ることができ、クライン=ゴードン場の内積と運動量の概念を一般化する。
次に、実数値古典函数の形式主義と、エルミート作用素と複素数値波動関数の形式主義を結びつける。
これは、実数値のクライン=ゴルドン方程式をシュロディンガー方程式に類似した形で書き直すことができる変数の非局所複素値変化を導入し、古典的観測可能を量子期待値として導入することで達成される。
そして、この変数の変化によって、古典的なポアソン括弧をエルミート作用素の可換子として書き直すことができることを示す。
このことは、ハイゼンベルク形式主義と古典的なポアソン括弧の形式主義の間の厳密な等価性を指摘している。
最終的に、ポアソン括弧が、その代数とともに1+1次元のポインケア群の変換を回復させる方法を説明する。
後者は、モスタファザデーのローレンツ不変内積と粒子の質量に関連するカシミール不変内積とを関連付ける。
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