論文の概要: Neural Network Approximation of Solutions to Fractional Parabolic Partial Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.27781v1
- Date: Thu, 30 Jul 2026 07:14:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-31 21:37:00.439426
- Title: Neural Network Approximation of Solutions to Fractional Parabolic Partial Differential Equations
- Title（参考訳）: フラクショナルパラボリック部分微分方程式に対する解のニューラルネットワーク近似
- Abstract要約: 周波数空間における時間的および空間的規則性を別々に測定する異方性スペクトルバロン空間を導入する。
まず、次元非依存乗算推定を用いて、これらの方程式に対する次元非依存の最大正則性理論を開発する。
重要な技術的新規性は、有限時間分数熱半群の大域的時間拡張へのヴァンダーモンド行列の適用である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.7118940953649353
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We establish a dimension-efficient neural network approximation theory for solutions to fractional parabolic equations with lower-order drift and potential terms. By introducing anisotropic spectral Barron spaces, which measure temporal and spatial regularity separately in frequency space, we first develop a dimension-independent maximal regularity theory for these equations, using dimension-independent multiplication estimates and the method of continuity to incorporate the lower-order terms. A key technical novelty is the application of the Vandermonde matrix to the global-in-time extension of the finite-time fractional heat semigroup with sufficient regularity at the initial time, thereby enabling analysis of the forward-in-time evolution via the global space-time Fourier structure of anisotropic Barron norms. We also show that a corresponding uniform-in-time estimate of the spectral Barron regularity generally fails. Finally, we derive $n^{-1/2}$ two-layer approximation bounds in mixed Sobolev norms for non-constant periodic activations and, under additional anisotropic Barron regularity, for non-periodic activations satisfying a polynomial-decay condition.
- Abstract（参考訳）: 低次ドリフトとポテンシャル項を持つ分数パラボリック方程式の解に対する次元効率のよいニューラルネットワーク近似理論を確立する。
周波数空間における時間的および空間的正則性を別々に測定する異方性スペクトルバロン空間を導入することにより、まずこれらの方程式に対して次元非依存の最大正則性理論を開発し、次元非依存の乗算推定と連続性の方法を用いて下階項を組み込む。
重要な技術的新奇性は、ファンダーモンド行列を初期時に十分な正則性を持つ有限時間分数熱半群の大域的時間拡張に適用することにより、異方性バロンノルムの大域的時空フーリエ構造による前時進化の解析を可能にすることである。
また、スペクトルバロン正則性の等時推定が一般的に失敗することも示している。
最後に、非定常周期的活性化と追加の異方性バロン正則性に対して混合ソボレフノルムにおける2層近似境界を多項式デカイ条件を満たす非周期的活性化に対して導出した。
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