論文の概要: Quantum algorithm for differential equations via permutation matrix representation with application to the Burgers equation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.19508v1
- Date: Wed, 19 Aug 2026 23:52:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-21 20:28:51.416919
- Title: Quantum algorithm for differential equations via permutation matrix representation with application to the Burgers equation
- Title（参考訳）: 置換行列表現による微分方程式の量子アルゴリズムとバーガース方程式への応用
- Abstract要約: 非線形バーガース方程式の力学を解く量子アルゴリズムを開発した。
我々のアルゴリズムは行列ノルムの代わりにカールマン発生器の対角線外ノルムでスケールすることを示す。
我々は、PMRスキームを高階微分や非線形項を含むような一般的な流体方程式に拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.1274452325287335
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We develop a quantum algorithm for solving the dynamics of the nonlinear viscous Burgers equation. We apply the Carleman linearization procedure on the spatially discretized equation, followed by a padding scheme that allows implementation on qubit registers. Existing Carleman-based quantum algorithms commonly formulate the lifted linear differential equation in an oracle model. Here we decompose the padded generator into diagonal masks and reversible arithmetic permutations using the Permutation Matrix Representation (PMR), which we show to be naturally compatible with the Linear Combination of Hamiltonian Simulations (LCHS) algorithm. Under the assumptions required by LCHS - most importantly positive semidefiniteness of the Hermitian part of the linear generator, possibly after a stabilizing shift - the algorithm prepares a normalized quantum state proportional to the solution of the truncated lifted system; the stabilizing shift introduces an exponential postselection overhead, which we quantify and mitigate through a rescaling scheme. We show that our algorithm scales with the off-diagonal norm of the Carleman generator instead of the matrix norm, which can be advantageous for other generators that are diagonally dominant. We also extend the PMR scheme to general fluid equations that may contain higher-order derivatives or nonlinear terms, or may involve multiple fluid variables or spatial dimensions. The construction illustrates how PMR can serve as a convenient Hamiltonian-simulation primitive for a broader class of LCU-based algorithms.
- Abstract（参考訳）: 非線形粘性バーガース方程式の力学を解く量子アルゴリズムを開発した。
本稿では,空間的離散化方程式に対してカールマン線形化法を適用し,続いて量子ビットレジスタの実装が可能なパディング方式を提案する。
既存のカールマンベースの量子アルゴリズムは、一般に、持ち上げ線形微分方程式をオラクルモデルで定式化する。
ここでは、パッド付きジェネレータを対角マスクに分解し、置換行列表現(PMR)を用いて可逆的な算術置換を行う。
LCHSが要求する仮定の下では、線形ジェネレータのエルミート部分の最も重要な正の半定値は、おそらく安定化シフトの後であり、アルゴリズムは、切り離された昇降系の解に比例する正規化量子状態を作成し、安定化シフトは指数的なポストセレクションオーバーヘッドを導入し、再スケーリングスキームを通じて定量化し緩和する。
我々のアルゴリズムは、行列ノルムの代わりにカールマン発生器の対角線外ノルムでスケールし、対角線上支配的な他のジェネレータに有利であることを示す。
また、PMRスキームを高次微分や非線形項を含む、あるいは複数の流体変数や空間次元を含むような一般的な流体方程式に拡張する。
この構成は、より広範なLCUベースのアルゴリズムに対して、PMRが便利なハミルトンシミュレーションプリミティブとして機能することを示す。
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