論文の概要: Sectional curvatures distribution of complexity geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.11621v3
• Date: Sun, 21 Aug 2022 02:15:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-17 03:17:21.412047
• Title: Sectional curvatures distribution of complexity geometry
• Title（参考訳）: 複雑性幾何学の断面曲率分布
• Authors: Qi-Feng Wu
• Abstract要約: 複雑性を定義する幾何学的手法では、作用素複雑性は作用素空間上の距離として定義される。 この複雑性幾何学の典型的な断面曲率は正である。 ヒルベルト空間において、典型的な状態に作用する典型的な大きさよりもはるかに小さい大きさの作用素によって生成される2曲面もまた負の曲率を持つことを示すこともできる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In the geometric approach to define complexity, operator complexity is defined as the distance on the operator space. In this paper, based on the analogy with the circuit complexity, the operator size is adopted as the metric of the operator space where path length is the complexity. The typical sectional curvatures of this complexity geometry are positive. It is further proved that the typical sectional curvatures are always positive if the metric is an arbitrary function of operator size. While complexity geometry is usually expected to be defined on negatively curved manifolds. By analyzing the sectional curvatures distribution for $N$-qubit system, it is shown that surfaces generated by Hamiltonians of size smaller than the typical size can have negative curvatures. In the large $N$ limit, the form of complexity metric is uniquely constrained up to constant corrections if we require sectional curvatures are of order $1/N^2$ . With the knowledge of states, the operator size should be modified due to the redundant action of operators, thus is generalized to be state-dependent. Then we use this state-dependent operator size as the metric of the Hilbert space to define state complexity. It can also be shown that in the Hilbert space, 2-surfaces generated by operators of size much smaller than the typical size acting on typical states also have negative curvatures.
• Abstract（参考訳）: 複雑性を定義する幾何学的アプローチにおいて、作用素複雑性は作用素空間上の距離として定義される。 本稿では,回路複雑性の類似性に基づき,経路長が複雑である演算子空間の計量として,演算子サイズを用いる。 この複雑性幾何学の典型的な断面曲率は正である。 さらに、計量が作用素サイズの任意の関数であれば、典型的な断面曲率は常に正であることが証明される。 複雑性幾何学は通常負の曲線多様体上で定義される。 N$-qubit系に対する断面曲率分布を解析することにより、典型的な大きさよりも小さいハミルトンによって生成される曲面が負の曲率を持つことを示す。 大きな$n$ の制限では、区間曲率を 1/n^2$ とするなら、複雑性計量の形式は一意に一定の補正に制限される。 状態の知識があれば、演算子の冗長な作用によって演算子のサイズが変更され、状態依存に一般化される。 そして、この状態依存作用素サイズをヒルベルト空間の計量として、状態複雑性を定義する。 ヒルベルト空間において、典型的な状態に作用する典型的な大きさよりもはるかに小さい大きさの作用素によって生成される2曲面もまた負の曲率を持つことを示すこともできる。

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