論文の概要: Interpolating between BSDEs and PINNs -- deep learning for elliptic and parabolic boundary value problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.03749v1
• Date: Tue, 7 Dec 2021 15:01:24 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-12-08 16:06:59.557739
• Title: Interpolating between BSDEs and PINNs -- deep learning for elliptic and parabolic boundary value problems
• Title（参考訳）: BSDEとPINNの補間 --楕円型および放物型境界値問題のディープラーニング
• Authors: Nikolas N\"usken, Lorenz Richter
• Abstract要約: 高次元偏微分方程式は、経済学、科学、工学における繰り返しの挑戦である。 本稿ではBSDEとPINNを補間する新しい$textitdiffusion loss$に基づく方法論を提案する。 我々の貢献は、高次元PDEに対する数値的アプローチの統一的な理解への扉を開く。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.52292571922932
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Solving high-dimensional partial differential equations is a recurrent challenge in economics, science and engineering. In recent years, a great number of computational approaches have been developed, most of them relying on a combination of Monte Carlo sampling and deep learning based approximation. For elliptic and parabolic problems, existing methods can broadly be classified into those resting on reformulations in terms of $\textit{backward stochastic differential equations}$ (BSDEs) and those aiming to minimize a regression-type $L^2$-error ($\textit{physics-informed neural networks}$, PINNs). In this paper, we review the literature and suggest a methodology based on the novel $\textit{diffusion loss}$ that interpolates between BSDEs and PINNs. Our contribution opens the door towards a unified understanding of numerical approaches for high-dimensional PDEs, as well as for implementations that combine the strengths of BSDEs and PINNs. We also provide generalizations to eigenvalue problems and perform extensive numerical studies, including calculations of the ground state for nonlinear Schr\"odinger operators and committor functions relevant in molecular dynamics.
• Abstract（参考訳）: 高次元偏微分方程式を解くことは、経済学、科学、工学における繰り返しの挑戦である。 近年,モンテカルロサンプリングと深層学習に基づく近似を組み合わせた計算手法が多数開発されている。 楕円型および放物型問題では、既存の手法は、$\textit{backward stochastic differential equation}$ (bsdes) という項で再構成に休むものと、回帰型$l^2$-error (\textit{physics-informed neural networks}$, pinns) を最小化することに分けられる。 本稿では,論文をレビューし,BSDEとPINNを補間する新しい$\textit{diffusion loss}$に基づく方法論を提案する。 我々の貢献は、BSDEとPINNの強みを組み合わせた実装と同様に、高次元PDEに対する数値的アプローチの統一的な理解への扉を開く。 また、固有値問題に対する一般化を提供し、非線形schr\"odinger演算子の基底状態の計算や分子動力学に関連するコミッタ関数を含む広範な数値研究を行う。

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