論文の概要: A backward differential deep learning-based algorithm for solving high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.08456v1
- Date: Fri, 12 Apr 2024 13:05:35 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-15 14:57:03.529270
- Title: A backward differential deep learning-based algorithm for solving high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
- Title（参考訳）: 高次元非線形後方確率微分方程式を解くための後方微分深層学習に基づくアルゴリズム
- Authors: Lorenc Kapllani, Long Teng,
- Abstract要約: 本稿では,高次元非線形逆微分方程式を解くための新しい逆微分深層学習アルゴリズムを提案する。
ディープニューラルネットワーク(DNN)モデルは、入力やラベルだけでなく、対応するラベルの差分に基づいて訓練される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6040014326756179
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this work, we propose a novel backward differential deep learning-based algorithm for solving high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations (BSDEs), where the deep neural network (DNN) models are trained not only on the inputs and labels but also the differentials of the corresponding labels. This is motivated by the fact that differential deep learning can provide an efficient approximation of the labels and their derivatives with respect to inputs. The BSDEs are reformulated as differential deep learning problems by using Malliavin calculus. The Malliavin derivatives of solution to a BSDE satisfy themselves another BSDE, resulting thus in a system of BSDEs. Such formulation requires the estimation of the solution, its gradient, and the Hessian matrix, represented by the triple of processes $\left(Y, Z, \Gamma\right).$ All the integrals within this system are discretized by using the Euler-Maruyama method. Subsequently, DNNs are employed to approximate the triple of these unknown processes. The DNN parameters are backwardly optimized at each time step by minimizing a differential learning type loss function, which is defined as a weighted sum of the dynamics of the discretized BSDE system, with the first term providing the dynamics of the process $Y$ and the other the process $Z$. An error analysis is carried out to show the convergence of the proposed algorithm. Various numerical experiments up to $50$ dimensions are provided to demonstrate the high efficiency. Both theoretically and numerically, it is demonstrated that our proposed scheme is more efficient compared to other contemporary deep learning-based methodologies, especially in the computation of the process $\Gamma$.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,高次元非線形後方確率微分方程式 (BSDEs) を解くための後方微分深層学習に基づく新しいアルゴリズムを提案し,深部ニューラルネットワーク(DNN)モデルは入力やラベルだけでなく,対応するラベルの微分も学習する。
これは、差分ディープラーニングが、入力に対するラベルとそのデリバティブの効率的な近似を提供するという事実に動機づけられている。
BSDE は、Malliavin calculus を用いて微分ディープラーニング問題として再構成される。
BSDE への解のマリアビン微分は、別の BSDE を満たすので、結果として BSDE の系となる。
そのような定式化は、解、勾配、ヘッセン行列を$\left(Y, Z, \Gamma\right)の3重プロセスで表す必要がある。
この系内のすべての積分は、オイラー・丸山法を用いて離散化される。
その後、DNNはこれらの未知のプロセスの3倍を近似するために使用される。
DNNパラメータは、離散化されたBSDEシステムの力学の重み付け和として定義される差分学習型損失関数を最小化し、各タイミングで後方に最適化される。
提案アルゴリズムの収束を示すために,誤差解析を行った。
高い効率を示すために、最大50ドルの数値実験が提供されている。
理論的にも数値的にも,提案手法は従来の深層学習手法よりも効率的であることが実証された。
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