論文の概要: Gleason's theorem for composite systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.00493v1
• Date: Sun, 1 May 2022 15:26:00 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-14 23:08:01.359441
• Title: Gleason's theorem for composite systems
• Title（参考訳）: 複合系に対するグリーソンの定理
• Authors: Markus Frembs, Andreas D\"oring
• Abstract要約: グリーソンの定理は量子力学の基礎において重要な結果である。 我々は、グリーソンの定理の合成系への一般化を証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Gleason's theorem [A. Gleason, J. Math. Mech., \textbf{6}, 885 (1957)] is an important result in the foundations of quantum mechanics, where it justifies the Born rule as a mathematical consequence of the quantum formalism. Formally, it presents a key insight into the projective geometry of Hilbert spaces, showing that finitely additive measures on the projection lattice $\PH$ extend to positive linear functionals on the algebra of bounded operators $\BH$. Over many years, and by the effort of various authors, the theorem has been broadened in its scope from type I to arbitrary von Neumann algebras (without type $\text{I}_2$ factors). Here, we prove a generalisation of Gleason's theorem to composite systems. To this end, we strengthen the original result in two ways: first, we extend its scope to dilations in the sense of Naimark [M. A. Naimark, C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, n. Ser., \textbf{41}, 359 (1943)] and Stinespring [W. F. Stinespring, Proc. Am. Math. Soc., \textbf{6}, 211 (1955)] and second, we require consistency with respect to dynamical correspondences on the respective (local) algebras in the composition [E. M. Alfsen and F. W. Shultz, Commun. Math. Phys., \textbf{194}, 87 (1998)]. We show that neither of these conditions changes the result in the single system case, yet both are necessary to obtain a generalisation to bipartite systems.
• Abstract（参考訳）: グリーソンの定理[a]. グリーソン、j. 数学。 メッチ , \textbf{6}, 885 (1957)] は量子力学の基礎の重要な結果であり、量子形式論の数学的帰結として生まれてくる規則を正当化している。 形式的には、ヒルベルト空間の射影幾何学に関する重要な洞察を示し、射影束上の有限加法的測度 $\ph$ は有界作用素 $\bh$ の代数上の正線型汎函数に拡張される。 長年にわたって、そして様々な著者の努力により、定理はその範囲をタイプ I から任意のフォン・ノイマン代数(タイプ $\text{I}_2$ factor なしで)へと拡大してきた。 ここでは、Gleasonの定理の合成系への一般化を証明する。 この目的のために、我々は元の結果を2つの方法で強化する: まず、その範囲をナイマークの意味で拡張する [m]。 A. Naimark, C. R. (Dokl.) Acad. Sci URSS, n。 サー。 , \textbf{41}, 359 (1943)], Stinespring [W。 f・スティネスプリング、プロップ。 私は... 数学 Soc , \textbf{6}, 211 (1955)] および第二に、組成 [E] における各(局所)代数上の動的対応に関して整合性が必要である。 M. Alfsen と F. W. Shultz, Commun 数学 Phys 87 (1998) である。 いずれの条件も単一システムの場合の結果は変化しないが、二成分系への一般化を得るためにはどちらも必要である。

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