論文の概要: Variationally Mimetic Operator Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.12871v1
- Date: Mon, 26 Sep 2022 17:39:53 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-27 18:38:11.931556
- Title: Variationally Mimetic Operator Networks
- Title（参考訳）: 変分模倣演算子ネットワーク
- Authors: Dhruv Patel, Deep Ray, Michael R. A. Abdelmalik, Thomas J. R. Hughes,
Assad A. Oberai
- Abstract要約: 本研究は,問題の変動あるいは弱い定式化の近似から得られる数値解の形式を模倣した,演算子ネットワークのための新しいアーキテクチャを記述する。
これらのアイデアの汎用楕円型PDEへの応用は、変動緩和作用素ネットワーク(VarMiON)につながる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.41998444721319217
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Operator networks have emerged as promising deep learning tools for
approximating the solution to partial differential equations (PDEs). These
networks map input functions that describe material properties, forcing
functions and boundary data to the solution of a PDE. This work describes a new
architecture for operator networks that mimics the form of the numerical
solution obtained from an approximation of the variational or weak formulation
of the problem. The application of these ideas to a generic elliptic PDE leads
to a variationally mimetic operator network (VarMiON). Like the conventional
Deep Operator Network (DeepONet) the VarMiON is also composed of a sub-network
that constructs the basis functions for the output and another that constructs
the coefficients for these basis functions. However, in contrast to the
DeepONet, in the VarMiON the architecture of these networks is precisely
determined. An analysis of the error in the VarMiON solution reveals that it
contains contributions from the error in the training data, the training error,
quadrature error in sampling input and output functions, and a "covering error"
that measures the distance between the test input functions and the nearest
functions in the training dataset. It also depends on the stability constants
for the exact network and its VarMiON approximation. The application of the
VarMiON to a canonical elliptic PDE reveals that for approximately the same
number of network parameters, on average the VarMiON incurs smaller errors than
a standard DeepONet. Further, its performance is more robust to variations in
input functions, the techniques used to sample the input and output functions,
the techniques used to construct the basis functions, and the number of input
functions.
- Abstract（参考訳）: 演算子ネットワークは偏微分方程式(PDE)の解を近似するための有望なディープラーニングツールとして登場した。
これらのネットワークは、材料特性を記述する入力関数をマッピングし、関数と境界データをpdeの解に強制する。
本研究は,問題の変動あるいは弱い定式化の近似から得られる数値解の形式を模倣した,演算子ネットワークのための新しいアーキテクチャを記述する。
これらのアイデアの汎用楕円型PDEへの応用は、変動緩和作用素ネットワーク(VarMiON)につながる。
従来のDeep Operator Network(DeepONet)と同様に、VarMiONは出力の基底関数を構成するサブネットワークと、これらの基底関数の係数を構成するサブネットワークで構成されている。
しかし、DeepONetとは対照的に、VarMiONではこれらのネットワークのアーキテクチャが正確に決定されている。
VarMiONソリューションにおけるエラーの分析では、トレーニングデータにおけるエラー、トレーニングエラー、サンプリング入力および出力関数における二次誤差、およびトレーニングデータセットにおけるテスト入力関数と最も近い関数の間の距離を測定する"カバレッジエラー"が含まれていることが明らかになった。
また、厳密なネットワークの安定性定数と、その変量近似にも依存する。
標準楕円型PDEへのVarMiONの適用により、およそ同じ数のネットワークパラメータに対して、VarMiONは標準のDeepONetよりも小さなエラーを発生させることが明らかになった。
さらに、その性能は、入力関数のバリエーション、入力関数と出力関数をサンプリングするのに使用される技術、基本関数を構築するのに使用される技術、入力関数の数に対してより堅牢である。
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