論文の概要: Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.10022v1
• Date: Tue, 24 Jan 2023 14:10:15 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-25 13:36:23.047075
• Title: Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations
• Title（参考訳）: 非線形偏微分方程式のメッシュフリー解法としてのクープマン神経演算子
• Authors: Wei Xiong, Xiaomeng Huang, Ziyang Zhang, Ruixuan Deng, Pei Sun, Yang Tian
• Abstract要約: 機械学習において、ニューラル演算子は方程式解の異なるパラメータ化空間の間をマッピングする。 これらの課題を克服するために、新しいニューラル演算子であるクープマンニューラル演算子(KNO)を提案する。 KNOは精度と効率のトレードオフを破る際、顕著な利点を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.815723299913228
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The lacking of analytic solutions of diverse partial differential equations (PDEs) gives birth to series of computational techniques for numerical solutions. In machine learning, numerous latest advances of solver designs are accomplished in developing neural operators, a kind of mesh-free approximators of the infinite-dimensional operators that map between different parameterization spaces of equation solutions. Although neural operators exhibit generalization capacities for learning an entire PDE family simultaneously, they become less accurate and explainable while learning long-term behaviours of non-linear PDE families. In this paper, we propose Koopman neural operator (KNO), a new neural operator, to overcome these challenges. With the same objective of learning an infinite-dimensional mapping between Banach spaces that serves as the solution operator of target PDE family, our approach differs from existing models by formulating a non-linear dynamic system of equation solution. By approximating the Koopman operator, an infinite-dimensional linear operator governing all possible observations of the dynamic system, to act on the flow mapping of dynamic system, we can equivalently learn the solution of an entire non-linear PDE family by solving simple linear prediction problems. In zero-shot prediction and long-term prediction experiments on representative PDEs (e.g., the Navier-Stokes equation), KNO exhibits notable advantages in breaking the tradeoff between accuracy and efficiency (e.g., model size) while previous state-of-the-art models are limited. These results suggest that more efficient PDE solvers can be developed by the joint efforts from physics and machine learning.
• Abstract（参考訳）: 多様な偏微分方程式 (PDE) の解析解の欠如は、数値解の一連の計算技術を生み出している。 機械学習では、方程式解の異なるパラメータ化空間間をマッピングする無限次元作用素のメッシュフリー近似器の一種であるニューラル演算子の開発において、多くの最新の解法設計が達成されている。 神経オペレーターは、PDEファミリー全体を同時に学習する一般化能力を示すが、非線形PDEファミリーの長期的な振る舞いを学習しながら、正確で説明しやすいものとなる。 本稿では,これらの課題を克服するために,新しいニューラル演算子であるkoopman neural operator (kno)を提案する。 対象 pde 族の解作用素として働くバナッハ空間間の無限次元写像を学習するという同じ目的のために、方程式解の非線形力学系を定式化することで既存のモデルとは異なるアプローチをとる。 力学系のすべての観測を無限次元の線形作用素であるクープマン作用素を近似して力学系のフローマッピングに作用させることにより、単純な線形予測問題を解くことで、非線形PDEファミリー全体の解を等価に学習することができる。 ゼロショット予測や代表的なpsd(例えば、navier-stokes方程式)の長期予測実験では、knoは精度と効率(例えばモデルサイズ)のトレードオフを破る点で顕著な利点を示し、以前の最先端モデルには限界がある。 これらの結果から,より効率的なpdeソルバは物理と機械学習の共同開発により開発できることが示唆された。

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