論文の概要: Invariant preservation in machine learned PDE solvers via error
correction
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2303.16110v1
- Date: Tue, 28 Mar 2023 16:26:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-29 14:22:35.728829
- Title: Invariant preservation in machine learned PDE solvers via error
correction
- Title（参考訳）: 誤り訂正による機械学習PDEソルバの不変保存
- Authors: Nick McGreivy, Ammar Hakim
- Abstract要約: 我々は、基礎となるPDEの連続不変量の離散アナログを保存し、より信頼性の高い機械学習PDEソルバを設計する。
不変性を保存するために、各タイミングで、更新ルールにエラー訂正アルゴリズムを適用します。
この戦略は任意の測地における時間依存PDEに対する任意の自己回帰解法に適用できる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.52292571922932
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Machine learned partial differential equation (PDE) solvers trade the
reliability of standard numerical methods for potential gains in accuracy
and/or speed. The only way for a solver to guarantee that it outputs the exact
solution is to use a convergent method in the limit that the grid spacing
$\Delta x$ and timestep $\Delta t$ approach zero. Machine learned solvers,
which learn to update the solution at large $\Delta x$ and/or $\Delta t$, can
never guarantee perfect accuracy. Some amount of error is inevitable, so the
question becomes: how do we constrain machine learned solvers to give us the
sorts of errors that we are willing to tolerate? In this paper, we design more
reliable machine learned PDE solvers by preserving discrete analogues of the
continuous invariants of the underlying PDE. Examples of such invariants
include conservation of mass, conservation of energy, the second law of
thermodynamics, and/or non-negative density. Our key insight is simple: to
preserve invariants, at each timestep apply an error-correcting algorithm to
the update rule. Though this strategy is different from how standard solvers
preserve invariants, it is necessary to retain the flexibility that allows
machine learned solvers to be accurate at large $\Delta x$ and/or $\Delta t$.
This strategy can be applied to any autoregressive solver for any
time-dependent PDE in arbitrary geometries with arbitrary boundary conditions.
Although this strategy is very general, the specific error-correcting
algorithms need to be tailored to the invariants of the underlying equations as
well as to the solution representation and time-stepping scheme of the solver.
The error-correcting algorithms we introduce have two key properties. First, by
preserving the right invariants they guarantee numerical stability. Second, in
closed or periodic systems they do so without degrading the accuracy of an
already-accurate solver.
- Abstract（参考訳）: 機械学習偏微分方程式(PDE)は、標準数値法の信頼性を精度および/または速度の潜在的な利得と交換する。
解法が正確な解を出力することを保証する唯一の方法は、グリッドが$\Delta x$ と timestep $\Delta t$ approach zero に間隔をおいて収束する手法を使用することである。
大規模な$\Delta x$と/または$\Delta t$でソリューションを更新する機械学習ソルバは、完全な正確性を保証することはできない。
マシン学習した問題解決者に対して、許容したい種類のエラーを与えるよう、どうやって制約すればよいのか?
本稿では,基礎となるPDEの連続不変量の離散的なアナログを保存し,より信頼性の高いPDEソルバを設計する。
そのような不変量の例としては、質量の保存、エネルギーの保存、熱力学の第2法則、および/または非負密度がある。
不変量を保存するために、各タイムステップでエラー訂正アルゴリズムを更新ルールに適用します。
この戦略は、標準ソルバが不変量を保存する方法とは異なるが、機械学習ソルバが大きな$\Delta x$および/または$\Delta t$で正確であることを保証する柔軟性を維持する必要がある。
この戦略は任意の境界条件を持つ任意の測地における時間依存PDEに対する任意の自己回帰解法に適用できる。
この戦略は非常に一般的なものであるが、特定の誤り訂正アルゴリズムは、基礎となる方程式の不変量や解の表現と時間ステップスキームに合わせて調整する必要がある。
誤り訂正アルゴリズムには2つの重要な特性がある。
まず、正しい不変量を保存することにより、数値安定性が保証される。
第二に、閉じたシステムや周期的なシステムでは、既に正確な解法の精度を損なうことなくそれを行ないます。
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