論文の概要: Hamiltonians whose low-energy states require $Ω(n)$ T gates
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.01347v2
- Date: Mon, 10 Jun 2024 19:37:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-13 01:08:37.162335
- Title: Hamiltonians whose low-energy states require $Ω(n)$ T gates
- Title（参考訳）: 低エネルギー状態のハミルトン人は$Ω(n)$Tゲートを必要とする
- Authors: Nolan J. Coble, Matthew Coudron, Jon Nelson, Seyed Sajjad Nezhadi,
- Abstract要約: 我々は、状態を作成するTゲートの数と、状態が擬安定化器である項数との関係を証明した。
この結果は,[CCNN23]よりも大幅に向上したことを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.22499166814992438
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The recent resolution of the NLTS Conjecture [ABN22] establishes a prerequisite to the Quantum PCP (QPCP) Conjecture through a novel use of newly-constructed QLDPC codes [LZ22]. Even with NLTS now solved, there remain many independent and unresolved prerequisites to the QPCP Conjecture, such as the NLSS Conjecture of [GL22]. In this work we focus on a specific and natural prerequisite to both NLSS and the QPCP Conjecture, namely, the existence of local Hamiltonians whose low-energy states all require $\omega(\log n)$ T gates to prepare. In fact, we prove a stronger result which is not necessarily implied by either conjecture: we construct local Hamiltonians whose low-energy states require $\Omega(n)$ T gates. We further show that our procedure can be applied to the NLTS Hamiltonians of [ABN22] to yield local Hamiltonians whose low-energy states require both $\Omega(\log n)$-depth and $\Omega(n)$ T gates to prepare. In order to accomplish this we define a "pseudo-stabilizer" property of a state with respect to each local Hamiltonian term, and prove an additive local energy lower bound for each term at which the state is pseudo-stabilizer. By proving a relationship between the number of T gates preparing a state and the number of terms at which the state is pseudo-stabilizer, we are able to give a constant energy lower bound which applies to any state with T-count less than $c \cdot n$ for some fixed positive constant $c$. This result represents a significant improvement over [CCNN23] where we used a different technique to give an energy bound which only distinguishes between stabilizer states and states which require a non-zero number of T gates.
- Abstract（参考訳）: NLTS Conjecture[ABN22]の最近の解決は、新たに構築されたQLDPC符号[LZ22]を新規に使用することにより、量子PCP(QPCP) Conjectureの前提条件を確立する。
NLTSが解決されたとしても、[GL22]の NLSS Conjecture など、QPCP Conjecture には独立で未解決の前提条件が多数残っている。
本研究では、NLSS と QPCP Conjecture の両方に対する特異かつ自然な前提、すなわち、低エネルギー状態がすべて準備するために$\omega(\log n)$ T ゲートを必要とする局所ハミルトニアンの存在に焦点を当てる。
すなわち、低エネルギー状態が$\Omega(n)$Tゲートを必要とする局所ハミルトニアンを構成する。
さらに、[ABN22] の NLTS Hamiltonian に対して、低エネルギー状態が$\Omega(\log n)$-depth と $\Omega(n)$ T ゲートの両方を必要とする局所ハミルトニアンが得られることを示す。
これを達成するために、各局所ハミルトン項に関する状態の「擬安定化器」特性を定義し、状態が擬安定化器である各項に対する加法的局所エネルギー下限を証明する。
状態を作成するTゲートの数と状態が擬安定化子である項の数との関係を証明することにより、ある一定の正の定数$c$に対して、Tカウントが$c \cdot n$未満の状態に適用される定数エネルギーの下限を与えることができる。
この結果は, 安定化状態と非ゼロ数のTゲートを必要とする状態のみを区別するエネルギー境界を与えるために, 異なる手法を用いた [CCNN23] よりも大幅に改善されたことを示す。
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