論文の概要: Neural Networks with Kernel-Weighted Corrective Residuals for Solving Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.03492v1
• Date: Sun, 7 Jan 2024 14:09:42 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-09 18:37:33.497638
• Title: Neural Networks with Kernel-Weighted Corrective Residuals for Solving Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式解のためのカーネル重み付け補正残差付きニューラルネットワーク
• Authors: Carlos Mora, Amin Yousefpour, Shirin Hosseinmardi, Ramin Bostanabad
• Abstract要約: 非線形PDEシステムを解くためにカーネル法とディープNNの長所を統合するためにカーネル重み付き補正残差(CoRes)を導入する。 CoResは幅広いベンチマーク問題の解決において競合する手法を一貫して上回っている。 我々はPDEの解決にカーネル手法を活用することに新たな関心を喚起する可能性があると考えている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Physics-informed machine learning (PIML) has emerged as a promising alternative to conventional numerical methods for solving partial differential equations (PDEs). PIML models are increasingly built via deep neural networks (NNs) whose architecture and training process are designed such that the network satisfies the PDE system. While such PIML models have substantially advanced over the past few years, their performance is still very sensitive to the NN's architecture and loss function. Motivated by this limitation, we introduce kernel-weighted Corrective Residuals (CoRes) to integrate the strengths of kernel methods and deep NNs for solving nonlinear PDE systems. To achieve this integration, we design a modular and robust framework which consistently outperforms competing methods in solving a broad range of benchmark problems. This performance improvement has a theoretical justification and is particularly attractive since we simplify the training process while negligibly increasing the inference costs. Additionally, our studies on solving multiple PDEs indicate that kernel-weighted CoRes considerably decrease the sensitivity of NNs to factors such as random initialization, architecture type, and choice of optimizer. We believe our findings have the potential to spark a renewed interest in leveraging kernel methods for solving PDEs.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームド・機械学習(PIML)は、偏微分方程式(PDE)を解く従来の数値法に代わる有望な方法として登場した。 PIMLモデルは、アーキテクチャとトレーニングプロセスが設計されているディープニューラルネットワーク(NN)を介して、ネットワークがPDEシステムを満たすように、ますます構築される。 このようなPIMLモデルはここ数年で大幅に進歩してきたが、その性能はNNのアーキテクチャや損失関数に非常に敏感である。 この制限により、カーネルメソッドとディープNNの強みを統合するためにカーネル重み付き補正残差(CoRes)を導入し、非線形PDEシステムを解決する。 この統合を実現するために、我々は幅広いベンチマーク問題の解決において競合する手法を一貫して上回るモジュラーでロバストなフレームワークを設計する。 この性能改善は理論的正当性を持ち、推論コストを無視できるほど高くしながらトレーニングプロセスを単純化するので、特に魅力的です。 さらに,複数のpdesの解法について検討した結果,ランダム初期化やアーキテクチャタイプ,オプティマイザの選択といった要因に対するnnの感度が大幅に低下することが示された。 我々はPDEの解決にカーネル手法を活用することに新たな関心を喚起する可能性があると考えている。

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