論文の概要: An Efficient Deep Learning Approach for Approximating Parameter-to-Solution Maps of PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.06834v3
• Date: Fri, 15 Aug 2025 05:27:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-18 14:51:22.754151
• Title: An Efficient Deep Learning Approach for Approximating Parameter-to-Solution Maps of PDEs
• Title（参考訳）: PDEのパラメータ・ツー・ソリューションマップの効率的な深層学習手法
• Authors: Guanhang Lei, Zhen Lei, Lei Shi, Chenyu Zeng,
• Abstract要約: 縮小コロケーション法(RCM)とディープニューラルネットワーク(DNN)を組み合わせた効率的なアプローチを提案する。 近似解析のセクションでは、ニューラルネットワークの複雑さに関するシャープな上限を厳格に導き出す。 POD-DNNは従来の数値計算法と比較して計算速度を大幅に高速化した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.227294893496342
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we consider approximating the parameter-to-solution maps of parametric partial differential equations (PPDEs) using deep neural networks (DNNs). We propose an efficient approach combining reduced collocation methods (RCMs) and DNNs. In the approximation analysis section, we rigorously derive sharp upper bounds on the complexity of the neural networks. These bounds only depend on the reduced basis dimension rather than the high-fidelity discretization dimension, thereby theoretically guaranteeing the computational efficiency of our approach. In numerical experiments, we implement the RCM using radial basis function finite differences (RBF-FD) and proper orthogonal decomposition (POD), and propose the POD-DNN algorithm. We consider various types of PPDEs and compare the accuracy and efficiency of different solvers. The POD-DNN has demonstrated significantly accelerated inference speeds compared with conventional numerical methods owing to the offline-online computation strategy. Furthermore, by employing the reduced basis methods (RBMs), it also outperforms standard DNNs in computational efficiency while maintaining comparable accuracy.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、ディープニューラルネットワーク(DNN)を用いたパラメトリック偏微分方程式(PPDE)のパラメータ-解写像の近似について検討する。 縮小コロケーション法(RCM)とDNNを組み合わせた効率的な手法を提案する。 近似解析のセクションでは、ニューラルネットワークの複雑さに関するシャープな上限を厳格に導き出す。 これらの境界は高忠実度離散化次元よりも低基底次元にのみ依存するため、理論的には我々のアプローチの計算効率が保証される。 数値実験では、放射基底関数有限差分法(RBF-FD)と固有直交分解法(POD)を用いてRCMを実装し、POD-DNNアルゴリズムを提案する。 様々なタイプのPPDEを考察し、異なる解法器の精度と効率を比較した。 POD-DNNは、オフライン-オフライン計算戦略による従来の数値手法と比較して、推論速度を著しく高速化した。 さらに、リダクションベース法(RBM)を用いることで、計算効率において、同等の精度を維持しながら、標準のDNNよりも優れる。

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