論文の概要: Efficient Shallow Ritz Method For 1D Diffusion-Reaction Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.01496v2
• Date: Fri, 16 May 2025 19:08:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-20 17:08:51.236982
• Title: Efficient Shallow Ritz Method For 1D Diffusion-Reaction Problems
• Title（参考訳）: 1次元拡散反応問題に対する効率的な浅絞りリッツ法
• Authors: Zhiqiang Cai, Anastassia Doktorova, Robert D. Falgout, César Herrera,
• Abstract要約: 本稿では,一次元拡散-反応問題の解法として浅部リッツ法について検討する。 近似のほぼ最適順序を達成するために、減衰ブロックニュートン法(dBN)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: This paper studies the shallow Ritz method for solving one-dimensional diffusion-reaction problems. The method is capable of improving the order of approximation for non-smooth problems. By following a similar approach to the one presented in [9], we present a damped block Newton (dBN) method to achieve nearly optimal order of approximation. The dBN method optimizes the Ritz functional by alternating between the linear and non-linear parameters of the shallow ReLU neural network (NN). For diffusion-reaction problems, new difficulties arise: (1) for the linear parameters, the mass matrix is dense and even more ill-conditioned than the stiffness matrix, and (2) for the non-linear parameters, the Hessian matrix is dense and may be singular. This paper addresses these challenges, resulting in a dBN method with computational cost of ${\cal O}(n)$. The ideas presented for diffusion-reaction problems can also be applied to least-squares approximation problems. For both applications, starting with the non-linear parameters as a uniform partition, numerical experiments show that the dBN method moves the mesh points to nearly optimal locations.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, 1次元拡散-反応問題の解法として浅部リッツ法について検討する。 非滑らかな問題に対する近似の順序を改善することができる。 9]で示されるものと類似したアプローチに従うことで、近似のほぼ最適順序を達成するために減衰ブロックニュートン法(dBN)を提案する。 dBN法は、浅いReLUニューラルネットワーク(NN)の線形パラメータと非線形パラメータの交互化により、リッツ関数を最適化する。 拡散-反応問題では、(1)線形パラメータでは、質量行列は剛性行列よりも密度が高くさらに条件が悪い、(2)非線型パラメータでは、ヘッセン行列は密度が高く特異である。 本稿ではこれらの課題に対処し、計算コストが${\cal O}(n)$のdBN法を導出する。 拡散反応問題に対するアイデアは、最小二乗近似問題にも適用できる。 両方のアプリケーションに対して、非線形パラメータを一様分割として始めると、数値実験により、dBN法がメッシュ点をほぼ最適な位置に移動することを示した。

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