論文の概要: Minimal eigenvalue estimates for self-adjoint trace-class operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.04478v1
- Date: Fri, 5 Jul 2024 12:56:20 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-08 13:30:37.823565
- Title: Minimal eigenvalue estimates for self-adjoint trace-class operators
- Title（参考訳）: 自己随伴トレースクラス作用素の最小固有値推定
- Authors: Richárd Balka, Gábor Homa, András Csordás,
- Abstract要約: 有界線型作用素のスペクトル特性は、数学と物理学のいくつかの領域において重要な役割を果たす。
単調増加列 $q_n$ は最小固有値 $lambda_min$ で、$O$ が正半定値でなければ$0$ となる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Spectral properties of bounded linear operators play a crucial role in several areas of mathematics and physics, and arguably the most important one is being positive semidefinite. For each self-adjoint, trace-class operator $O$ we construct a monotone increasing sequence $q_n$ which tends to the minimal eigenvalue $\lambda_{\min}$ if $O$ is not positive semidefinite, and to $0$ otherwise. This sequence only depends on the moments of $O$ and a concrete upper estimate of its $1$-norm; we also demonstrate that it can be effectively calculated for a large class of physically relevant operators. As a by-product, we obtain computable estimates for the $1$-norm of $O$, too. First assume that $O$ is positive semidefinite. Unfortunately, positivity tests fail to prove this in finitely many steps. However, $q_n$ gives a rigorous, monotone increasing lower estimate for all eigenvalues, providing a quantitative way of measuring positivity. In this case the speed of convergence is $q_n\approx -\frac cn$. Now suppose that $O$ is not positive semidefinite. Then $q_n$ monotonically converges to $\lambda_{\min}$ with super-exponential speed. Hence if $q_n$ stabilizes at a negative value, we obtain a strong indication that $O$ is in fact not positive semidefinite. We also construct an easier computable sequence $q_{n,0}$ which fails to be monotone, but converges to $\lambda_{\min}<0$ faster, providing an even better indicator of non-positivity.
- Abstract（参考訳）: 有界線型作用素のスペクトル特性は数学や物理学のいくつかの分野において重要な役割を果たすが、最も重要なものは正の半定値である。
各自己随伴するトレースクラス演算子$O$に対して、最小固有値$\lambda_{\min}$が正半定値でなければ$0$となるような単調増加列$q_n$を構築する。
このシーケンスは、$O$のモーメントと、その$$-normの具体的な上限推定にのみ依存する。
副産物として、$O$の1ドルノームの計算可能な見積もりを得る。
まず、$O$ が正半定値であると仮定する。
残念なことに、実証テストは有限のステップでこれを証明できない。
しかし、$q_n$は、すべての固有値に対してより低い見積もりを増大させる厳密で単調な単調な値を与える。
この場合収束速度は$q_n\approx -\frac cn$である。
ここで、$O$ は正半定値でないと仮定する。
すると$q_n$は超指数速度で$\lambda_{\min}$に単調収束する。
したがって、$q_n$ が負の値で安定化すると、$O$ は正の半定値ではないという強い示唆が得られる。
また、計算が容易な$q_{n,0}$は単調にならないが、$\lambda_{\min}<0$高速に収束し、非正の指標としてさらに優れたものを提供する。
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