論文の概要: Operator algebra and algorithmic construction of boundaries and defects in (2+1)D topological Pauli stabilizer codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.11942v1
- Date: Tue, 15 Oct 2024 18:00:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-10-17 13:40:38.172627
- Title: Operator algebra and algorithmic construction of boundaries and defects in (2+1)D topological Pauli stabilizer codes
- Title（参考訳）: 2+1)Dトポロジカルパウリ安定化符号における作用素代数と境界と欠陥のアルゴリズムによる構築
- Authors: Zijian Liang, Bowen Yang, Joseph T. Iosue, Yu-An Chen,
- Abstract要約: 位相一般化されたパウリ安定化符号のすべての境界と欠陥を2次元で構成する計算アルゴリズムを提案する。
このアルゴリズムを適用し、Z$トーリック符号の2つの境界と6つの欠陥、Z_4$トーリック符号の3つの境界と22の欠陥、カラー符号の6つの境界と270の欠陥、異常な3つのフェミオン符号の6つの欠陥を明示的に示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.89369561264161
- License:
- Abstract: In this paper, we present a computational algorithm for constructing all boundaries and defects of topological generalized Pauli stabilizer codes in two spatial dimensions. Utilizing the operator algebra formalism, we establish a one-to-one correspondence between the topological data-such as anyon types, fusion rules, topological spins, and braiding statistics-of (2+1)D bulk stabilizer codes and (1+1)D boundary anomalous subsystem codes. To make the operator algebra computationally accessible, we adapt Laurent polynomials and convert the tasks into matrix operations, e.g., the Hermite normal form for obtaining boundary anyons and the Smith normal form for determining fusion rules. This approach enables computers to automatically generate all possible gapped boundaries and defects for topological Pauli stabilizer codes through boundary anyon condensation and topological order completion. This streamlines the analysis of surface codes and associated logical operations for fault-tolerant quantum computation. Our algorithm applies to $Z_d$ qudits, including both prime and nonprime $d$, thus enabling the exploration of topological quantum codes beyond toric codes. We have applied the algorithm and explicitly demonstrated the lattice constructions of 2 boundaries and 6 defects in the $Z_2$ toric code, 3 boundaries and 22 defects in the $Z_4$ toric code, 1 boundary and 2 defects in the double semion code, 1 boundary and 22 defects in the six-semion code, 6 boundaries and 270 defects in the color code, and 6 defects in the anomalous three-fermion code. In addition, we investigate the boundaries of two specific bivariate bicycle codes within a family of low-density parity-check (LDPC) codes. We demonstrate that their topological orders are equivalent to 8 and 10 copies of $Z_2$ toric codes, with anyons restricted to move by 12 and 1023 lattice sites in the square lattice, respectively.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,2次元の位相一般化されたパウリ安定化符号のすべての境界と欠陥を構築するための計算アルゴリズムを提案する。
作用素代数形式を用いることで、エノン型、融合規則、トポロジカルスピン、および(2+1)Dバルク安定化器符号のブレイディング統計と(1+1)D境界異常サブシステム符号などのトポロジカルデータ間の1対1対応を確立する。
演算子代数を計算的に利用できるようにするために、ローラン多項式を適応させ、それらのタスクを行列演算に変換する(例えば、境界の任意の値を得るエルミート正規形式と融合規則を決定するスミス正規形式)。
このアプローチにより、コンピュータは、境界結束と位相順序完備化を通じて、位相的パウリ安定化符号のすべての可能性のある境界と欠陥を自動生成できる。
これは、フォールトトレラント量子計算のための表面コードと関連する論理演算の解析を合理化する。
我々のアルゴリズムは、素数と非素数の両方を含む$Z_d$ quditsに適用される。
このアルゴリズムを適用し,Z_4$トーリック符号の2境界と6欠陥,Z_4$トーリック符号の3境界と22欠陥,ダブルセミオン符号の1境界と2欠陥,6セメオン符号の1境界と22欠陥,カラー符号の6境界と270欠陥,異常な3フェミオン符号の6欠陥について明らかにした。
さらに,低密度パリティチェック (LDPC) 符号群における2つの特定二変数自転車符号の境界について検討した。
それらのトポロジ的順序は,Z_2$トーリック符号の8と10のコピーに等しいことを示す。
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