論文の概要: Conditional expectations in Quantum Mechanics and causal interpretations: the Bohm momentum as a best predictor

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.08532v1
• Date: Wed, 13 Nov 2024 11:26:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-14 16:10:04.502836
• Title: Conditional expectations in Quantum Mechanics and causal interpretations: the Bohm momentum as a best predictor
• Title（参考訳）: 量子力学と因果解釈における条件的期待:ボーム運動量による最良の予測
• Authors: Raymond Brummelhuis,
• Abstract要約: 基本的な例は、位置演算子$X$がボム運動量であることから運動量作用素$P$の条件付き期待である。 我々は、位置と第3スピン成分に関して運動量とスピンの条件付き期待のダイナミクスを導出する。 2つの付録は古典的なボームモデルを可積分なハミルトン系として再解釈する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Given a normalized state-vector $\psi $, we define the conditional expectation $\mathbb{E }_{\psi } (A | B ) $ of a Hermitian operator $A $ with respect to a strongly commuting family of self-adjoint operators $B $ as the best approximation, in the operator mean square norm associated to $\psi $, of $A $ by a real-valued function of $B . $ A fundamental example is the conditional expectation of the momentum operator $P $ given the position operator $X $, which is found to be the Bohm momentum. After developing the Bohm theory from this point of view we treat conditional expectations with respect to general $B $, which we apply to non-relativistic spin 1/2-particles. We derive the dynamics of the conditional expectations of momentum and spin with respect to position and the third spin component. These dynamics can be interpreted in terms of classical continuum mechanics as a two-component fluid whose components carry intrinsic angular momentum. Interpreting the joint spectrum of the conditioning operators as a space of beables, we can introduce a classical-stochastic particle dynamics on this space which is compatible with the time-evolution of the Born probability, by combining the de Broglie-Bohm guidance condition with a Markov jump process, following an idea of J. Bell. This results in a new Bohm-type model for particles with spin. A basic problem is that such auxiliary particle dynamics are far from unique. We finally examine the relation of our conditional expectations with the conditional expectations of the theory of $C^* $-algebras and, as an application, derive a general evolution equation for conditional expectations for operators acting on finite dimensional Hilbert spaces. Two appendices re-interpret the classical Bohm model as an integrable constrained Hamiltonian system, and provide the details of the two-fluid interpretation.
• Abstract（参考訳）: 正規化された状態ベクトル $\psi $ が与えられたとき、エルミート作用素の条件期待式 $\mathbb{E }_{\psi } (A | B ) $ を自己随伴作用素の強い可換な族 $A $ に対して定義する。 基本的な例は、位置演算子$X$がボム運動量であることから運動量作用素$P$の条件付き期待である。 この観点からボーム理論を開発した後、一般の$Bに対する条件付き期待を扱い、非相対論的スピン1/2-粒子に適用する。 我々は、位置と第3スピン成分に関して運動量とスピンの条件付き期待のダイナミクスを導出する。 これらの力学は古典的な連続体力学の観点から、成分が固有角運動量を持つ2成分流体と解釈することができる。 条件付き作用素の合同スペクトルを可換空間として解釈すると、J. Bell のアイデアに従い、ド・ブロリー=ボーム指導条件とマルコフジャンプ過程を組み合わせることで、ボルン確率の時間進化に相応しい古典的確率的粒子力学を導入することができる。 これにより、スピンを持つ粒子の新しいボーム型モデルが得られる。 基本的な問題は、そのような助粒子動力学がユニークとは程遠いことである。 最終的に、条件付き期待と$C^* $-代数の理論の条件付き期待との関係について検討し、応用として、有限次元ヒルベルト空間上で作用する作用素に対する条件付き期待に対する一般的な進化方程式を導出する。 2つの付録は古典的なボームモデルを可積分なハミルトン系として再解釈し、2流体解釈の詳細を提供する。

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