論文の概要: A Framework For Estimating Amplitudes of Quantum State With Single-Qubit Measurement
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.07123v1
- Date: Tue, 10 Dec 2024 02:31:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-11 14:36:36.983507
- Title: A Framework For Estimating Amplitudes of Quantum State With Single-Qubit Measurement
- Title（参考訳）: 単一量子ビット計測による量子状態の振幅推定フレームワーク
- Authors: Nhat A. Nghiem,
- Abstract要約: 与えられた$n$-qubit量子状態の振幅を推定するための簡単なフレームワークを提案し,解析する。
一つの量子ビットの測定に制限を課し、任意の基準で測定を行うことができれば、測定結果を用いて振幅の発見を支援することができることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: We propose and analyze a simple framework for estimating the amplitudes of a given $n$-qubit quantum state $\ket{\psi} = \sum_{i=0}^{2^n-1} a_i \ket{i}$ in computational basis, utilizing a single-qubit measurement only. Previously, it was a common procedure that one could measure all qubits in order to collect measurement outcomes, from which one can estimate amplitudes of given quantum state. Here, we show that if restricting to single-qubit measurement, and one can perform measurement on arbitrary basis, then the measurement outcomes can be used to assist the finding of amplitudes in the usual computational, or Z basis. More concretely, such outcomes are capable of constructing a system of nonlinear algebraic equations, and by classically solving them, we obtain $\Tilde{a}_i$, which is the approximation to the corresponding amplitudes $a_i$, including both real and imaginary component. We then discuss our framework from a broader perspective. First, we show that estimating all (norms of) amplitudes to additive accuracy $\delta$, i.e., $| |\Tilde{a}_i - |a_i| | \leq \delta$ for all $i$, $\mathcal{O}(4^n/\delta^4)$ single-qubit measurements is sufficient. Second, we show that to achieve total variation $\sum_{i=0}^{2^n-1} | |\Tilde{a}_i|^2 - |a_i|^2| \leq \delta $, $\mathcal{O}(6^n/\delta^4)$ a single bit measurement is required. Finally, in order to achieve an average $L_1$ norm error $ \sum_{i=0}^{2^n-1} | |\Tilde{a}_i| - |a_i| |/2^n \leq \delta$, a single bit measurement $\mathcal{O}(2^n/ \delta^4)$ is needed.
- Abstract（参考訳）: 与えられた$n$-qubit量子状態 $\ket{\psi} = \sum_{i=0}^{2^n-1} a_i \ket{i}$ の振幅を計算ベースで推定するための簡単なフレームワークを提案し,解析する。
以前は、全ての量子ビットを計測して測定結果を収集し、そこから与えられた量子状態の振幅を推定する一般的な手順であった。
ここでは, 単量子計測に制限を課し, 任意の基準で測定を行うことができれば, 測定結果を用いて, 通常の計算, あるいはZに基づく振幅の発見を支援することができることを示す。
より具体的には、そのような結果は非線形代数方程式のシステムを構築することができ、それらを古典的に解くことで、実成分と虚成分の両方を含む対応する振幅 $a_i$ の近似である $\Tilde{a}_i$ を得る。
そして、より広い視点からフレームワークについて議論します。
まず、すべての(ノルムの)振幅を加算精度$\delta$、すなわち、$| |\Tilde{a}_i - |a_i| | \leq \delta$ for all $i$, $\mathcal{O}(4^n/\delta^4)$ single-qubit Measurementでは十分であることを示す。
第2に、総変量$\sum_{i=0}^{2^n-1} | |\Tilde{a}_i|^2 - |a_i|^2| \leq \delta $, $\mathcal{O}(6^n/\delta^4)$ 1ビット計測が必要であることを示す。
最後に、平均$L_1$ノルム誤差 $ \sum_{i=0}^{2^n-1} | |\Tilde{a}_i| - |a_i| |/2^n \leq \delta$ を達成するには、単一ビット測定 $\mathcal{O}(2^n/ \delta^4)$ が必要である。
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