論文の概要: Group Invariant Quantum Latin Squares
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.00196v1
- Date: Tue, 31 Dec 2024 00:16:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-01-05 17:12:04.219915
- Title: Group Invariant Quantum Latin Squares
- Title（参考訳）: 群不変量子ラテン正方形
- Authors: Arnbjörg Soffía Árnadóttir, David E. Roberson,
- Abstract要約: 量子ラテン正方形 (quantum Latin square) は単位ベクトルの$n 倍 n$ の配列であり、各行と列は固定された複素ベクトル空間の正則基底を形成する。
ここでは、$(G, G')$-不変量子ラテン正方形が存在することと、既約表現の次数の多重集合が$G$と$G'$に対して等しいことを示せる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: A quantum Latin square is an $n \times n$ array of unit vectors where each row and column forms an orthonormal basis of a fixed complex vector space. We introduce the notion of $(G,G')$-invariant quantum Latin squares for finite groups $G$ and $G'$. These are quantum Latin squares with rows and columns indexed by $G$ and $G'$ respectively such that the inner product of the $a,b$-entry with the $c,d$-entry depends only on $a^{-1}c \in G$ and $b^{-1}d \in G'$. This definition is motivated by the notion of group invariant bijective correlations introduced in [Roberson \& Schmidt (2020)], and every group invariant quantum Latin square produces a group invariant bijective correlation, though the converse does not hold. In this work we investigate these group invariant quantum Latin squares and their corresponding correlations. Our main result is that, up to applying a global isometry to every vector in a $(G,G')$-invariant quantum Latin square, there is a natural bijection between these objects and trace and conjugate transpose preserving isomorphisms between the group algebras of $G$ and $G'$. This in particular proves that a $(G,G')$-invariant quantum Latin square exists if and only if the multisets of degrees of irreducible representations are equal for $G$ and $G'$. Another motivation for this line of work is that whenever Cayley graphs for groups $G$ and $G'$ are quantum isomorphic, then there is a $(G,G')$-invariant quantum correlation witnessing this, and thus it suffices to consider such correlations when searching for quantum isomorphic Cayley graphs. Given a group invariant quantum correlation, we show how to construct all pairs of graphs for which it gives a quantum isomorphism.
- Abstract（参考訳）: 量子ラテン二乗は単位ベクトルの$n \times n$配列であり、各行と列は固定された複素ベクトル空間の正則基底を形成する。
有限群に対して$(G,G')$-不変量子ラテン四角形(英語版)の概念を導入する。
これらはそれぞれ$G$と$G’$でインデックスされた行と列を持つ量子ラテン正方形であり、$c,d$-entryの$a,b$-entryの内積は$a^{-1}c \in G$と$b^{-1}d \in G'$にのみ依存する。
この定義は [Roberson \& Schmidt (2020)] で導入された群不変単射相関の概念によって動機付けられ、すべての群不変量子ラテン二乗は群不変単射相関を生成するが、逆は成り立たない。
本研究では、これらの群不変量子ラテン二乗とその対応する相関について検討する。
我々の主な結果は、$(G,G')$-不変量子ラテン二乗のすべてのベクトルに大域的等方性を適用することにより、これらの対象とトレースの間に自然な単射が存在し、$G$と$G’$の群代数の間の保留同型を共役することである。
このことは、$(G, G')$-不変量子ラテン正方形が、既約表現の次数の多重集合が$G$と$G'$に対して等しいことを証明している。
この線のもう1つの動機は、群 $G$ と $G'$ のケイリーグラフが量子同型であればいつでも、これを目撃する$(G,G')$-不変な量子相関が存在し、したがって量子同型ケイリーグラフを探索する際にそのような相関を考えるのに十分であるということである。
群不変量子相関が与えられたとき、量子同型を与えるグラフのすべてのペアを構築する方法を示す。
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