論文の概要: Restricted Dynamic Geometric Complexity: Path-Space Reduction and Möbius--Jacobi Response

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.07204v2
• Date: Mon, 13 Jul 2026 15:49:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-14 17:47:21.265444
• Title: Restricted Dynamic Geometric Complexity: Path-Space Reduction and Möbius--Jacobi Response
• Title（参考訳）: 制限された動的幾何学的複雑さ:経路空間の減少とメビウス-ヤコビ反応
• Abstract要約: 経路空間値問題として制限された動的幾何学的複雑性について検討する。 主な応答結果は、アダマール状態空間におけるグローバルである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Structured preconditioners restrict optimization to a small family of positive metrics, but endpoint condition-number reachability does not measure the geometric effort required to reach a useful metric. We formulate this effort as a path-space value problem. Restricted dynamic geometric complexity is the least affine-invariant length of an admissible metric path whose endpoint reaches a Hessian-relative generalized-eigenvalue condition target. Path elimination gives an exact min-plus semigroup and Bellman principle, while fixed-horizon kinetic energy is exactly squared complexity divided by twice the horizon. The main response result is global on a Hadamard state space: geodesic convexity produces a smooth intervention-cube path branch and a uniformly coercive Jacobi form, while one Green inverse generates the value Hessian, two-sided force-to-curvature bounds, exact Möbius effects, and arbitrary prescribed finite-order responses. For the hard condition target, a bordered Jacobi--KKT theorem differentiates the moving projection endpoint and multiplier on every regular active spectral stratum; its indefinite inverse also explains why hard-target interactions need not share the unconstrained sign. The theory specializes to affine-invariant positive-definite geometry. A determinant-one two-dimensional diagonal model has an exact target interval, a closed-form forced path, and a strictly negative-definite interaction matrix. A moving diagonal Hessian gives a closed-form hard-target projection, multiplier, and pair effects of either sign, while a coordinate-sequential three-dimensional protocol yields an exact path metric strictly larger than the ambient projection distance. Thus the global Green and bordered hard-target responses are explicit laws of restricted metric-path elimination built on Bellman composition.
• Abstract（参考訳）: 構造化プレコンディショナーは、小さな正のメトリクスの族に最適化を制限しているが、エンドポイント条件数到達性は有用なメトリクスに到達するのに必要な幾何的労力を計測しない。 我々はこの取り組みをパス空間値問題として定式化する。 制限された動的幾何学的複雑性は、エンドポイントがヘッセン相対一般化固有値条件ターゲットに達する許容距離パスの最小アフィン不変長である。 経路除去は、正確なミンプラス半群とベルマンの原理を与えるが、固定水平運動エネルギーはちょうど二乗の複雑性を水平の2倍に分割する。 測地的凸性は滑らかな介入キューブ経路分岐と一様強制的ヤコビ形式を生成するが、一方のグリーン逆数では値 Hessian, two-sided force-to-curvature bounds, exact Möbius effect, and any prescribed finite-order response が生成される。 ハード条件対象に対して、境界付きヤコビ-KKT定理は、すべての正則な活性スペクトル層における移動射影終点と乗算器を区別する。 この理論はアフィン不変正定幾何に特化している。 行列式1次元2次元対角モデルは、正確な目標間隔、閉形式強制経路、厳密な負-負の相互作用行列を有する。 移動対角ヘッセンは閉形式のハードターゲット射影、乗算器、両符号の対効果を与え、座標系列の3次元プロトコルは周囲の射影距離よりも厳密な正確な経路距離を与える。 したがって、グローバルグリーンと境界ハードターゲット応答はベルマン合成上に構築された制限されたメートルパス除去の明確な法則である。

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