論文の概要: PG-KINN: A Physics-Informed Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.20378v1
• Date: Wed, 22 Jul 2026 17:08:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-23 18:51:38.163597
• Title: PG-KINN: A Physics-Informed Petrov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs
• Title（参考訳）: PG-KINN:Petov-Galerkin Kolmogorov-Arnold Network for Solving Forward and Inverse PDEs
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)の物理インフォームド学習は多層パーセプトロン(MLP)によって支配されている Kolmogorov Arnold Networks (KAN) はこれらの制限を緩和している。 本稿では、ペトロフ・ガレルキンの定式化に基づいて構築された物理インフォームドカンであるPG-KINNについて述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.33585724475660284
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Physics-informed learning of partial differential equations (PDEs) has been dominated by multilayer perceptrons (MLPs), whose spectral bias and dense parameterization limit both accuracy and interpretability. Kolmogorov Arnold Networks (KANs) mitigate these limitations because their learnable spline activations are structurally aligned with the piecewise-polynomial bases of classical discretizations. However, the way a PDE is cast into a loss functional is as decisive as the choice of approximator: strong-form residual minimization requires high-order derivatives and heavily weighted losses, the energy (Bubnov-Galerkin) form is restricted to self-adjoint operators and, as we show, collapses to a trivial solution for parameter-identification problems, and boundary integral forms require a known fundamental solution. We propose PG-KINN, a physics-informed KAN built on a Petrov-Galerkin formulation in which the trial space is a KAN and the test space is an independent, compactly supported, piecewise-polynomial space evaluated with Gauss-Legendre quadrature. Integration by parts lowers the differentiation order while retaining applicability to general non-self-adjoint, nonlinear, and inverse problems; the localized test functions turn the global residual into a set of element-wise weak residuals with favorable conditioning. On a suite of benchmarks spanning crack singularities, stress concentration, Neo-Hookean hyperelasticity, inverse parameter identification in heterogeneous media, and complex geometries, PG-KINN consistently outperforms legacy MLP baselines and state-of-the-art KAN-based strong/energy/inverse formulations (PIKAN). These results position the Petrov-Galerkin coupling of KAN trial spaces and polynomial test spaces as a robust and accurate route for AI-based computational mechanics.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の物理インフォームド学習は多層パーセプトロン(MLP)によって支配され、スペクトルバイアスと密度パラメータ化は精度と解釈可能性の両方を制限する。 Kolmogorov Arnold Networks (KAN) はこれらの制限を緩和している。 強形式残留最小化は高次微分と重み付き損失を必要とし、エネルギー(ブノフ・ガレルキン)形式は自己随伴作用素に制限され、我々が示すように、パラメータ同定問題に対する自明な解に崩壊し、境界積分形式は既知の基本解を必要とする。 本稿では、ペトロフ・ガレルキンの定式化を基礎として、試験空間がカンであり、試験空間はガウス・レーゲンドル二次法で評価された独立でコンパクトな多項式空間である、物理インフォームカンであるPG-KINNを提案する。 部分による積分は、一般の非自己随伴、非線形、逆問題への適用性を保ちながら微分順序を下げる。 ひび割れ特異点, 応力集中, ネオ・フック超弾性, 異質媒質中の逆パラメータ同定, 複素ジオメトリーの一連のベンチマークにおいて, PG-KINNは旧来のMLPベースラインと最先端のKANベースの強エネルギー/逆定式(PIKAN)を一貫して上回っている。 これらの結果は、AIベースの計算力学の堅牢かつ正確な経路として、カン試行空間と多項式テスト空間のペトロフ・ガレルキン結合を位置づけている。

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