論文の概要: Quantum mechanics on the line with two origins

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.26080v1
• Date: Fri, 24 Jul 2026 16:53:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-30 21:06:25.41992
• Title: Quantum mechanics on the line with two origins
• Title（参考訳）: 2つの起源を持つ直線上の量子力学
• Abstract要約: Ltwo=(R_2)/!sim, qquad (x, 1)sim(x,2)quadtext for xneq0, ] という2つの起源を持つ標準線上でのスカラーおよびスピノリアル量子力学について検討し、その恒等な滑らかな構造と平坦な距離を持つ。 まず、通常のスカラー理論は二重元に無関心であることを示す: (L2) から (q:L) を通してハウスドルフ空間因子へのすべての連続写像。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study scalar and spinorial quantum dynamics on the standard line with two origins, \[ \Ltwo=(\R_1\sqcup\R_2)/\!\sim, \qquad (x,1)\sim(x,2)\quad\text{for }x\neq0, \] equipped with its identity-glued smooth structure and flat metric. We first show that the ordinary scalar theory is insensitive to the doubled origin: every continuous map from \(\Ltwo\) to a Hausdorff space factors through the quotient \(q:\Ltwo\to\R\), while, for the natural measure, \[ C^\infty(\Ltwo)\cong C^\infty(\R), \qquad L^2(\Ltwo)\cong L^2(\R). \] Accordingly, the natural scalar free Hamiltonian is unitarily equivalent to the free Laplacian on \(\R\). The doubled origin remains visible, however, in the spinor line associated with the nontrivial spin structure. The oriented flat structure on \(\Ltwo\) admits two spin structures, distinguished by the relative transition sign on the two connected components of the chart overlap. For the nontrivial structure, these signs are opposite. This forces every continuous global spinor section to vanish at both origins and every smooth section to vanish there to infinite order. The associated first-order operator \[ -i\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \] on compactly supported smooth twisted sections is symmetric but not essentially self-adjoint: its deficiency indices are \((1,1)\), and a self-adjoint first-order evolution requires an additional transmission condition at the origin. The natural positive quadratic form associated with the flat twisted structure instead yields the direct sum of two Dirichlet half-line Laplacians and hence perfect reflection. Thus the ordinary scalar theory does not detect the doubled origin, whereas the nontrivially glued spinor line does, although the spin structure alone does not determine a unique unitary transmission law.
• Abstract（参考訳）: 2つの原点を持つ標準線上のスカラーおよびスピノリアル量子力学について研究する: \[ \Ltwo=(\R_1\sqcup\R_2)/\! \sim, \qquad (x,1)\sim(x,2)\quad\text{for }x\neq0, \]はその恒等な滑らかな構造と平坦な計量を備える。 まず、通常のスカラー理論は双対元に無関心であることが示される: \(\Ltwo\) からハウスドルフ空間因子への商 \(q:\Ltwo\to\R\) によるすべての連続写像、一方自然測度は \[C^\infty(\Ltwo)\cong C^\infty(\R), \qquad L^2(\Ltwo)\cong L^2(\R) である。 したがって、自然スカラー自由ハミルトニアンは \(\R\) 上の自由ラプラシアンと同値である。 しかし、二重原点は非自明なスピン構造に付随するスピノル線で見ることができる。 \(\Ltwo\) 上の向き付けられた平面構造は、2つのスピン構造を持ち、チャートの2つの連結成分上の相対遷移符号によって区別される。 非自明な構造に対して、これらの記号は反対である。 これにより、すべての連続大域スピノル区間は原点とすべての滑らかな区間の両方で消滅し、無限次へと消える。 コンパクトに支持された滑らかなねじれ断面上の付随する一階作用素 \[ -i\,\frac {\mathrm d}{\mathrm dx} \] は対称であるが、本質的には自己共役ではない。 平坦なねじれ構造に付随する自然な正の二次形式は、2つのディリクレ半線型ラプラシアンの直和を与え、したがって完全反射を与える。 したがって、通常のスカラー理論は二重起源を検知しないが、非自明に接着されたスピノル線は検出するが、スピン構造だけではユニークなユニタリ伝送法則は決定しない。

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