論文の概要: Quantum Michelson Contrast: Logarithmic Parametrisation, Subadditivity, and Geometric Interpretation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.06997v1
• Date: Mon, 07 Sep 2026 03:42:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-11 23:53:35.05494
• Title: Quantum Michelson Contrast: Logarithmic Parametrisation, Subadditivity, and Geometric Interpretation
• Title（参考訳）: 量子マイケルソンコントラスト:対数パラメトリクス、部分付加性、幾何学的解釈
• Abstract要約: 正の可逆作用素に対しては、作用素のマイケルソンコントラストは$(A)=((A)-1)/((A)+1)$である。 対数リフトは$operatornamearctanh((A))=frac12ln(A)$である。 正の可逆作用素に対しては、正確な幾何的識別を確立する: $operatornameQLC(A)$ は恒等線から$A$ によって生成される光線までの射影トンプソン距離と等しい。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Building on the operator Michelson contrast introduced in our previous work for positive operators, we investigate its natural logarithmic parametrisation. For a positive invertible operator $A$, the operator Michelson contrast is $Δ(A)=(κ(A)-1)/(κ(A)+1)$, where $κ(A)=\|A\|\|A^{-1}\|$ is the condition number. Its logarithmic lift is $\operatorname{arctanh}(Δ(A))=\frac12\lnκ(A)$. We call this quantity the \emph{Quantum Logarithmic Contrast} (QLC), and extend it to all invertible operators via the polar decomposition. We prove that QLC is subadditive under multiplication: $\operatorname{QLC}(AB)\le \operatorname{QLC}(A)+\operatorname{QLC}(B)$. For positive invertible operators, we establish an exact geometric identification: $\operatorname{QLC}(A)$ equals the projective Thompson distance from the identity ray to the ray generated by $A$. The main result is a sharp dimensional threshold for equality in the subadditivity law: for $2\times2$ and $3\times3$ positive matrices, equality forces commutativity, while $n=4$ is the smallest dimension in which noncommuting equality examples exist. We also derive contraction properties, sum inequalities, trace estimates for density operators, and limiting behaviour for Cesàro means and infinite products.
• Abstract（参考訳）: 演算子Michelson が前回の正の演算子に対して導入したコントラストに基づいて、自然対数パラメトリションを考察する。 正の可逆作用素 $A$ に対して、作用素 Michelson のコントラストは $Δ(A)=(κ(A)-1)/(κ(A)+1)$ であり、$κ(A)=\|A\|\|A^{-1}\|$ は条件数である。 対数リフトは$\operatorname{arctanh}(Δ(A))=\frac12\lnκ(A)$である。 この量を \emph{Quantum Logarithmic Contrast} (QLC) と呼び、極分解を通じてすべての可逆作用素に拡張する。 QLC が乗法で副加法であることを証明する。 $\operatorname{QLC}(AB)\le \operatorname{QLC}(A)+\operatorname{QLC}(B)$。 正の可逆作用素に対しては、正確な幾何的識別を確立する: $\operatorname{QLC}(A)$ は恒等線から$A$によって生成される光線までの射影トンプソン距離と等しい。 主な結果は、部分加法則における等式に対する鋭い次元しきい値である:$2\times2$と$3\times3$の正の行列に対して、等式は可換性を強制し、$n=4$は非可換等式例が存在する最小の次元である。 また、縮退特性、和の不等式、密度作用素のトレース推定、セサロ平均と無限積の制限挙動も導出する。

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