論文の概要: Quantum Solvable Nonlinear Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.00653v3
- Date: Mon, 22 Apr 2024 08:06:55 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-24 01:22:09.045352
- Title: Quantum Solvable Nonlinear Differential Equations
- Title（参考訳）: 量子可解非線形微分方程式
- Authors: Yu Tanaka, Keisuke Fujii,
- Abstract要約: 量子コンピュータ上で効率よく解ける非線形ODEのクラスを量子可解ODEと呼ぶ。
具体的には、非線形ODEの系をハミルトン力学にマッピングするために、クープマン・フォン・ノイマン線型化を用いる。
これにより、量子可解ODEを$O(rm log(N))$オーバヘッドで解くのに最適なハミルトンシミュレーション技術を利用することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6003521378074745
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Quantum computers have the potential to efficiently solve a system of nonlinear ordinary differential equations (ODEs), which play a crucial role in various industries and scientific fields. However, it remains unclear which system of nonlinear ODEs, and under what assumptions, can achieve exponential speedup using a quantum computer. In this work, we introduce a class of systems of nonlinear ODEs, called quantum solvable ODEs, that can be efficiently solved on quantum computers, where the efficiency is defined as solving the system with computational complexity of $O(T {\rm log}(N) {\rm polylog}(1/\epsilon))$, where $T$ is the evolution time, $\epsilon$ is the allowed error, and $N$ is the number of variables in the system. Specifically, we employ Koopman-von Neumann linearization to map the system of nonlinear ODEs to Hamiltonian dynamics and find conditions where the norm of the mapped Hamiltonian is preserved and the Hamiltonian is sparse. This allows us to use the optimal Hamiltonian simulation technique for solving the quantum solvable ODEs with $O({\rm log}(N))$ overhead. Furthermore, we show that quantum solvable ODEs include a wide range of systems of nonlinear ODEs, such as the nonlinear harmonic oscillators and the short-range Kuramoto model. Since this is the first concrete example of solving systems of nonlinear ODEs with exponential quantum speedup, these findings contribute significantly to the application of quantum computers in solving nonlinear problems.
- Abstract（参考訳）: 量子コンピュータは、様々な産業や科学分野において重要な役割を果たす非線形常微分方程式(ODE)のシステムを効率的に解くことができる。
しかし、どの非線形ODEのシステムが、どの仮定の下で、量子コンピュータを用いて指数的スピードアップを達成できるかは定かではない。
本稿では、量子コンピュータ上で効率よく解ける量子可解ODE(quantum solvable ODE)と呼ばれる非線形ODEのシステムのクラスを紹介し、その効率は、$O(T {\rm log}(N) {\rm polylog}(1/\epsilon))$の計算複雑性を持つシステムを解くものとして定義される。
具体的には、非線形ODEの系をハミルトン力学に写像し、写像されたハミルトンのノルムが保存され、ハミルトンのノルムがスパースである条件を見つけるために、クープマン・フォン・ノイマン線型化を用いる。
これにより、量子可解ODEを$O({\rm log}(N))$オーバヘッドで解くのに最適なハミルトンシミュレーション技術を利用することができる。
さらに、量子可解ODEは非線形高調波発振器や短距離倉本モデルなど、幅広い非線形ODEの系を含むことを示す。
これは指数的量子スピードアップを伴う非線形ODEのシステムを解く最初の具体例であるため、これらの発見は非線形問題の解法における量子コンピュータの適用に大きく貢献する。
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