論文の概要: Generating synthetic data for neural operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.02398v2
• Date: Thu, 12 Sep 2024 15:40:45 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-13 22:12:50.467597
• Title: Generating synthetic data for neural operators
• Title（参考訳）: ニューラル演算子のための合成データの生成
• Authors: Erisa Hasani, Rachel A. Ward,
• Abstract要約: 本稿では,PDEを数値的に解く必要のない合成機能トレーニングデータを生成する方法を提案する。 アイデアは単純だが,古典的な数値解法に依存しないニューラルPDE解法の開発の可能性を広げることを期待している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Numerous developments in the recent literature show the promising potential of deep learning in obtaining numerical solutions to partial differential equations (PDEs) beyond the reach of current numerical solvers. However, data-driven neural operators all suffer from a similar problem: the data needed to train a network depends on classical numerical solvers such as finite difference or finite element, among others. In this paper, we propose a different approach to generating synthetic functional training data that does not require solving a PDE numerically. We draw a large number $N$ of independent and identically distributed 'random functions' $u_j$ from the underlying solution space (e.g., $H_0^1(\Omega)$) in which we know the solution lies according to classical theory. We then plug each such random candidate solution into the equation and get a corresponding right-hand side function $f_j$ for the equation, and consider $(f_j, u_j)_{j=1}^N$ as supervised training data for learning the underlying inverse problem $f \rightarrow u$. This `backwards' approach to generating training data only requires derivative computations, in contrast to standard `forward' approaches, which require a numerical PDE solver, enabling us to generate many data points quickly and efficiently. While the idea is simple, we hope this method will expand the potential for developing neural PDE solvers that do not depend on classical numerical solvers.
• Abstract（参考訳）: 近年の文献における多くの発展は、偏微分方程式(PDE)の数値解を現在の数値解法の範囲を超えて得ることにおけるディープラーニングの有望な可能性を示している。 ネットワークを訓練するために必要なデータは、有限差分や有限要素といった古典的な数値解法に依存する。 本稿では、PDEを数値的に解く必要のない合成機能トレーニングデータを生成するための異なるアプローチを提案する。 独立かつ同値に分散された'ランダム関数'$u_j$を、古典理論に従って解が成り立つことを知るような解空間(例えば、$H_0^1(\Omega)$)から、多数の$N$の独立かつ同値な'ランダム関数'$u_j$を引き出す。 次に、これらのランダムな候補解を方程式に差し込み、その方程式に対して対応する右辺関数 $f_j$ を取得し、基礎となる逆問題 $f \rightarrow u$ を学ぶための教師付きトレーニングデータとして $(f_j, u_j)_{j=1}^N$ を考える。 トレーニングデータを生成するための"backwards"アプローチでは、標準的な"forward"アプローチとは対照的に、数値PDEソルバを必要とするため、多くのデータポイントを迅速かつ効率的に生成できる。 アイデアは単純だが,古典的な数値解法に依存しないニューラルPDE解法の開発の可能性を広げることを期待している。

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