論文の概要: An advance in the arithmetic of the Lie groups as an alternative to the forms of the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.15732v1
• Date: Sun, 28 Jan 2024 19:20:02 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-01-30 17:07:34.942215
• Title: An advance in the arithmetic of the Lie groups as an alternative to the forms of the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem
• Title（参考訳）: キャンベル・ベーカー=ハウスドルフ=ディンキンの定理の形式に代わるリー群の算術の進歩
• Authors: Sunghyun Kim, Zhichen Liu, and Richard A. Klemm
• Abstract要約: 作用素や行列の指数は量子論において広く用いられるが、評価するのは難しいこともある。 ここで、$rm eabf X+bbf Y$ が $rm epbf Zrm eqbf Xrm e-pbf Z$ for scalar $p$ および $q$ と同値であることが証明されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7373617024876725
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The exponential of an operator or matrix is widely used in quantum theory, but it sometimes can be a challenge to evaluate. For non-commutative operators ${\bf X}$ and ${\bf Y}$, according to the Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin theorem, ${\rm e}^{{\bf X}+{\bf Y}}$ is not equivalent to ${\rm e}^{\bf X}{\rm e}^{\bf Y}$, but is instead given by the well-known infinite series formula. For a Lie algebra of a basis of three operators $\{{\bf X,Y,Z}\}$, such that $[{\bf X}, {\bf Y}] = \kappa{\bf Z}$ for scalar $\kappa$ and cyclic permutations, here it is proven that ${\rm e}^{a{\bf X}+b{\bf Y}}$ is equivalent to ${\rm e}^{p{\bf Z}}{\rm e}^{q{\bf X}}{\rm e}^{-p{\bf Z}}$ for scalar $p$ and $q$. Extensions for ${\rm e}^{a{\bf X}+b{\bf Y}+c{\bf Z}}$ are also provided. This method is useful for the dynamics of atomic and molecular nuclear and electronic spins in constant and oscillatory transverse magnetic and electric fields.
• Abstract（参考訳）: 作用素や行列の指数は量子論において広く用いられるが、評価するのは難しいこともある。 非可換作用素 ${\bf X}$ および ${\bf Y}$ に対して、キャンベル=ベーカー=ハウスドルフ=ディンキンの定理によれば、${\rm e}^{{\bf X}+{\bf Y}}$ は ${\rm e}^{\bf X}{\rm e}^{\bf Y}$ と等価ではないが、よく知られた無限級数公式によって与えられる。 3つの作用素の基底を持つリー代数に対して、$[{\bf X}, {\bf Y}] = \kappa{\bf Z}$ for scalar $\kappa$ and cyclic permutations ここで、${\rm e}^{a{\bf X}+b{\bf Y}}$が${\rm e}^{p{\bf Z}}{\rm e}^{q{\bf X}}{\rm e}^{q{\bf X}}{\rm e}^{q{\bf Z}}$ for scalar $p$および$q$と等しいことが証明されている。 また、${\rm e}^{a{\bf x}+b{\bf y}+c{\bf z}}$の拡張も提供される。 この方法は、原子核と分子核と電子スピンの定数および振動する横磁場および電場におけるダイナミクスに有用である。

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