論文の概要: Learning solution operators of PDEs defined on varying domains via MIONet

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2402.15097v1
• Date: Fri, 23 Feb 2024 05:11:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-02-26 15:40:38.137650
• Title: Learning solution operators of PDEs defined on varying domains via MIONet
• Title（参考訳）: MIONetによる各種ドメイン上で定義されたPDEの学習解演算子
• Authors: Shanshan Xiao, Pengzhan Jin, Yifa Tang
• Abstract要約: MIONet を通じて様々な領域で定義された PDE の解演算子を学習する。 2-dポアソン方程式の実験を行い、領域と右辺の項が変化する。 この方法は、PDEの一種の一般解法として柔軟に使用できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.3020018305241337
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this work, we propose a method to learn the solution operators of PDEs defined on varying domains via MIONet, and theoretically justify this method. We first extend the approximation theory of MIONet to further deal with metric spaces, establishing that MIONet can approximate mappings with multiple inputs in metric spaces. Subsequently, we construct a set consisting of some appropriate regions and provide a metric on this set thus make it a metric space, which satisfies the approximation condition of MIONet. Building upon the theoretical foundation, we are able to learn the solution mapping of a PDE with all the parameters varying, including the parameters of the differential operator, the right-hand side term, the boundary condition, as well as the domain. Without loss of generality, we for example perform the experiments for 2-d Poisson equations, where the domains and the right-hand side terms are varying. The results provide insights into the performance of this method across convex polygons, polar regions with smooth boundary, and predictions for different levels of discretization on one task. Reasonably, we point out that this is a meshless method, hence can be flexibly used as a general solver for a type of PDE.
• Abstract（参考訳）: そこで本研究では,MIONetを用いて様々なドメイン上で定義されたPDEの解演算子を学習し,理論的に正当化する手法を提案する。 まず、MIONet の近似理論を拡張して距離空間にさらに対処し、MIONet が距離空間内の複数の入力で写像を近似できることを示す。 その後、いくつかの適当な領域からなる集合を構築し、この集合上の計量を与えて計量空間とし、MIONetの近似条件を満たす。 理論的基礎に基づいて、微分作用素のパラメータ、右辺項、境界条件、およびドメインを含む全てのパラメータでPDEの解写像を学習することができる。 例えば、一般性を失うことなく、2-dポアソン方程式の実験を行い、ドメインと右辺の項が変化する。 その結果, 凸多角形, 滑らかな境界を持つ極域, 一つのタスクにおける異なるレベルの離散化の予測における, この手法の性能に関する知見が得られた。 理論的には、これはメッシュレス法であるため、PDEの一種の一般解法として柔軟に使用できる。

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