論文の概要: B\"ottcher-Wenzel inequality for weighted Frobenius norms and its
application to quantum physics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.04199v1
- Date: Thu, 7 Mar 2024 04:02:37 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-08 15:14:52.093934
- Title: B\"ottcher-Wenzel inequality for weighted Frobenius norms and its
application to quantum physics
- Title（参考訳）: b\"ottcher-wenzel不等式による重み付きフロベニウスノルムとその量子物理学への応用
- Authors: Aina Mayumi, Gen Kimura, Hiromichi Ohno, Dariusz Chru\'sci\'nski
- Abstract要約: 可換作用素 $[A,B]:= AB - BA$ のノルムを (i) から (vi) にラベル付けした6種類の境界を探索する。
量子物理学、特に不確実性関係と開量子力学の文脈におけるこれらの境界の応用について述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: By employing a weighted Frobenius norm with a positive matrix $\omega$, we
introduce natural generalizations of the famous B\"ottcher-Wenzel (BW)
inequality. Specifically, we explore six types of bounds, labeled (i) through
(vi), on the norms of the commutator $[A,B]:= AB - BA$, based on the
combination of the weighted Frobenius norm $\|A\|_\omega := \sqrt{{\rm
tr}(A^\ast A \omega)}$ and the usual Frobenius norm $\|A\| := \sqrt{{\rm
tr}(A^\ast A)}$. While the tight bound for the case (vi) corresponds to the BW
inequality itself, we establish the tight bounds for cases (iii) and (v), and
propose conjectures for the tight bounds of cases (i) and (ii), with the tight
bound for case (iv) presented as a corollary of case (i). Conversely, all these
bounds (i)-(v) serve as generalizations of the BW inequality. The conjectured
bounds for cases (i) and (ii) are numerically supported for matrices up to size
$n=15$, and we provide proofs for $2\times 2$ matrices. Additionally, we
present applications of these bounds in quantum physics, particularly in the
contexts of the uncertainty relation and open quantum dynamics.
- Abstract（参考訳）: 正行列 $\omega$ の重み付きフロベニウスノルムを用いることで、有名な B\'ottcher-Wenzel (BW) の不等式を自然に一般化する。
具体的には6種類の境界を探索し
(i) から (vi) までの可換子 $[a,b]:= ab - ba$ のノルムは、重み付きフロベニウスノルム $\|a\|_\omega := \sqrt{{\rm tr}(a^\ast a \omega)} と通常のフロベニウスノルム $\|a\| := \sqrt{{\rm tr}(a^\ast a)} の組み合わせに基づいている。
ケース(vi)のタイトバウンドはbw不等式そのものに対応するが、ケース(iii)および(v)のタイトバウンドを確立し、ケースのタイトバウンドに対する予想を提案する。
(i)および
(ii)ケース(iv)のタイトなバウンドがケースの支柱として提示されるさま
(i)。
逆に これらの境界は
i)-(v) は BW の不等式を一般化する。
ケースの予想された境界
(i)および
(ii) は最大サイズ $n=15$ の行列に対して数値的にサポートされ、2\times 2$ 行列の証明を提供する。
さらに、量子物理学、特に不確実性関係と開量子力学の文脈におけるこれらの境界の応用について述べる。
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