論文の概要: Böttcher-Wenzel inequality for weighted Frobenius norms and its application to quantum physics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.04199v2
- Date: Thu, 4 Apr 2024 00:54:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-04-05 19:23:57.101548
- Title: Böttcher-Wenzel inequality for weighted Frobenius norms and its application to quantum physics
- Title（参考訳）: 重み付きフロベニウスノルムに対するベッツァー=ウェンツェル不等式とその量子物理学への応用
- Authors: Aina Mayumi, Gen Kimura, Hiromichi Ohno, Dariusz Chruściński,
- Abstract要約: 有名な B'ottcher-Wenzel (BW) の不等式を自然に一般化する。
本稿では,ケース (iii) と (v) のタイトバウンドを確立し,ケース (i) と (ii) のタイトバウンドに関する予想を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: By employing a weighted Frobenius norm with a positive matrix $\omega$, we introduce natural generalizations of the famous B\"ottcher-Wenzel (BW) inequality. Based on the combination of the weighted Frobenius norm $\|A\|_\omega := \sqrt{{\rm tr}(A^\ast A \omega)}$ and the standard Frobenius norm $\|A\| := \sqrt{{\rm tr}(A^\ast A)}$, there are exactly five possible generalizations, labeled (i) through (v), for the bounds on the norms of the commutator $[A,B]:= AB - BA$. In this paper, we establish the tight bounds for cases (iii) and (v), and propose conjectures regarding the tight bounds for cases (i) and (ii). Additionally, the tight bound for case (iv) is derived as a corollary of case (i). All these bounds (i)-(v) serve as generalizations of the BW inequality. The conjectured bounds for cases (i) and (ii) (and thus also (iv)) are numerically supported for matrices up to size $n=15$. Proofs are provided for $n=2$ and certain special cases. Interestingly, we find applications of these bounds in quantum physics, particularly in the contexts of the uncertainty relation and open quantum dynamics.
- Abstract（参考訳）: 正行列 $\omega$ の重み付きフロベニウスノルムを用いることで、有名な B\'ottcher-Wenzel (BW) の不等式を自然に一般化する。
重み付きフロベニウスノルム $\|A\|_\omega := \sqrt{{\rm tr}(A^\ast A \omega)}$ と標準フロベニウスノルム $\|A\| := \sqrt{{\rm tr}(A^\ast A)}$ の組合せに基づいて、ラベル付けされた正確な5つの一般化が存在する。
(i) through (v) for the bounds on the norms of the commutator $[A,B]:= AB - BA$.
本稿では,ケース(iii)とケース(v)のタイトバウンドを確立し,ケースのタイトバウンドに関する予想を提案する。
(i)および
(II)。
さらに、ケース(iv)のタイトバウンドは、ケースの系図として導出される
(i)。
これらすべての境界
i)-(v) は BW の不等式を一般化する。
ケースの予想境界
(i)および
(ii)(従って(iv))は、最大$n=15$までの行列に対して数値的に支持される。
証明は、$n=2$と特定の特別なケースに対して提供される。
興味深いことに、これらの境界は量子物理学、特に不確実性関係と開量子力学の文脈で応用されている。
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