論文の概要: Stability Analysis of Physics-Informed Neural Networks for Stiff Linear Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.15393v1
• Date: Tue, 27 Aug 2024 20:33:16 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-29 17:52:31.906764
• Title: Stability Analysis of Physics-Informed Neural Networks for Stiff Linear Differential Equations
• Title（参考訳）: 剛線形微分方程式に対する物理インフォームニューラルネットワークの安定性解析
• Authors: Gianluca Fabiani, Erik Bollt, Constantinos Siettos, Athanasios N. Yannacopoulos,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)の安定性解析について述べる。 線形微分方程式の数値解として線形ODEと線形放物型PDEの系を考える。 提案したPINNは,様々なステップサイズにおいて,数値近似精度と計算コストの両方において,従来の手法よりも優れていることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a stability analysis of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) coupled with random projections, for the numerical solution of (stiff) linear differential equations. For our analysis, we consider systems of linear ODEs, and linear parabolic PDEs. We prove that properly designed PINNs offer consistent and asymptotically stable numerical schemes, thus convergent schemes. In particular, we prove that multi-collocation random projection PINNs guarantee asymptotic stability for very high stiffness and that single-collocation PINNs are $A$-stable. To assess the performance of the PINNs in terms of both numerical approximation accuracy and computational cost, we compare it with other implicit schemes and in particular backward Euler, the midpoint, trapezoidal (Crank-Nikolson), the 2-stage Gauss scheme and the 2 and 3 stages Radau schemes. We show that the proposed PINNs outperform the above traditional schemes, in both numerical approximation accuracy and importantly computational cost, for a wide range of step sizes.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、(剛性)線形微分方程式の数値解に対して、ランダムな投射を伴う物理情報ニューラルネットワーク(PINN)の安定性解析を行う。 本稿では,線形ODEと線形パラボリックPDEのシステムについて考察する。 適切に設計されたPINNは、一貫性と漸近的に安定な数値スキームを提供し、従って収束するスキームを提供する。 特に,マルチコロケーション・ランダム・プロジェクション PINN は高度剛性に対する漸近安定性を保証し,単一コロケーション PINN が$A$stable であることを証明する。 数値近似精度と計算コストの両面からPINNの性能を評価するため,他の暗黙のスキームとの比較を行い,特に後方のオイラー,中点,台形(クランク・ニコルソン),2段ガウススキーム,2段および3段ラダウスキームを比較した。 提案したPINNは,様々なステップサイズにおいて,数値近似精度と計算コストの両方において,従来の手法よりも優れていることを示す。

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