論文の概要: Almost Everything About the Unitary Almost Mathieu Operator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.03216v2
- Date: Fri, 21 Jul 2023 11:36:06 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-24 16:56:46.735222
- Title: Almost Everything About the Unitary Almost Mathieu Operator
- Title（参考訳）: ユニタリなMathieu演算子について、ほとんどすべて
- Authors: Christopher Cedzich, Jake Fillman, Darren C. Ong
- Abstract要約: このモデルでは、超臨界、臨界、亜臨界の挙動がすべて起こることを示す。
また、結合定数の各値、ほぼすべての周波数、ほぼすべての位相についてスペクトル型を特徴付ける。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a unitary almost-Mathieu operator, which is obtained from a
two-dimensional quantum walk in a uniform magnetic field. We exhibit a version
of Aubry--Andr\'{e} duality for this model, which partitions the parameter
space into three regions: a supercritical region and a subcritical region that
are dual to one another, and a critical regime that is self-dual. In each
parameter region, we characterize the cocycle dynamics of the transfer matrix
cocycle generated by the associated generalized eigenvalue equation. In
particular, we show that supercritical, critical, and subcritical behavior all
occur in this model. Using Avila's global theory of one-frequency cocycles, we
exactly compute the Lyapunov exponent on the spectrum in terms of the given
parameters. We also characterize the spectral type for each value of the
coupling constant, almost every frequency, and almost every phase. Namely, we
show that for almost every frequency and every phase the spectral type is
purely absolutely continuous in the subcritical region, pure point in the
supercritical region, and purely singular continuous in the critical region. In
some parameter regions, we refine the almost-sure results. In the critical case
for instance, we show that the spectrum is a Cantor set of zero Lebesgue
measure for arbitrary irrational frequency and that the spectrum is purely
singular continuous for all but countably many phases.
- Abstract（参考訳）: 一様磁場中の2次元量子ウォークから得られるユニタリなニアマチュー演算子を導入する。
これはパラメータ空間を3つの領域に分割するもので、超臨界領域と亜臨界領域は互いに双対であり、臨界レジームは自己双対である。
各パラメータ領域において、関連する一般化固有値方程式によって生成される移動行列コサイクルのコサイクルダイナミクスを特徴付ける。
特に、このモデルでは、超臨界、臨界、亜臨界の挙動がすべて起こることを示す。
アビラの大域的な1周波共サイクル理論を用いて、与えられたパラメータの観点でスペクトルのリアプノフ指数を正確に計算する。
また、結合定数、ほぼ全ての周波数、ほぼ全ての位相の各値についてスペクトル型を特徴付ける。
すなわち、ほぼ全ての周波数および全ての位相において、スペクトル型は、亜臨界領域において純粋に絶対連続であり、超臨界領域において純点であり、臨界領域において純粋に特異連続であることを示す。
いくつかのパラメータ領域では、ほぼ確実に結果を洗練する。
例えば、臨界の場合において、スペクトルは任意の不合理周波数に対するゼロルベーグ測度のカントール集合であり、スペクトルは純粋に多くの位相に対して特異連続であることを示す。
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