論文の概要: Polynomial Equivalence of Complexity Geometries

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2205.04485v2
• Date: Thu, 24 Nov 2022 06:13:34 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-02-13 20:21:27.807326
• Title: Polynomial Equivalence of Complexity Geometries
• Title（参考訳）: 複雑度ジオメトリーの多項式等価性
• Authors: Adam R. Brown
• Abstract要約: 本稿では、量子計算複雑性の幅広い定義の同値性を証明する。 ユニタリ群における右不変測度について検討する。 量子回路と同じ計算能力を持つ測定値の同値類を列挙する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper proves the polynomial equivalence of a broad class of definitions of quantum computational complexity. We study right-invariant metrics on the unitary group -- often called `complexity geometries' following the definition of quantum complexity proposed by Nielsen -- and delineate the equivalence class of metrics that have the same computational power as quantum circuits. Within this universality class, any unitary that can be reached in one metric can be approximated in any other metric in the class with a slowdown that is at-worst polynomial in the length and number of qubits and inverse-polynomial in the permitted error. We describe the equivalence classes for two different kinds of error we might tolerate: Killing-distance error, and operator-norm error. All metrics in both equivalence classes are shown to have exponential diameter; all metrics in the operator-norm equivalence class are also shown to give an alternative definition of the quantum complexity class BQP. My results extend those of Nielsen et al., who in 2006 proved that one particular metric is polynomially equivalent to quantum circuits. The Nielsen et al. metric is incredibly highly curved. I show that the greatly enlarged equivalence class established in this paper also includes metrics that have modest curvature. I argue that the modest curvature makes these metrics more amenable to the tools of differential geometry, and therefore makes them more promising starting points for Nielsen's program of using differential geometry to prove complexity lowerbounds.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、量子計算複雑性の幅広い定義の多項式同値性を証明する。 我々は Nielsen が提唱した量子複雑性の定義に従って、ユニタリ群上の右不変測度(しばしば 'complexity geometries' と呼ばれる)を研究し、量子回路と同じ計算能力を持つ計量の同値類を列挙する。 この普遍性クラス内では、ある計量で到達可能なユニタリは、許容誤差においてキュービットの長さと数においてat-worst多項式であるスローダウンを持つクラスの任意の他の計量で近似することができる。 我々はキリング距離誤差と演算子ノルム誤差の2つの異なる種類のエラーについて等価クラスを記述する。 両同値類におけるすべての計量は指数的径を持つことが示され、作用素-ノルム同値類におけるすべての計量は、量子複雑性クラス bqp の代替定義を与えるように示される。 私の結果は、2006年にある特定の計量が量子回路と多項式的に等価であることを証明したNielsenらの拡張である。 Nielsen et al.の計量は驚くほど高い曲線である。 本論文で確立した大きな拡張同値類には,ゆるやかな曲率を持つ指標も含まれることを示す。 控えめな曲率により、これらの測度は微分幾何学の道具により適しており、したがって、複雑性の低い境界を証明するために微分幾何学を使用するニールセンのプログラムにとってより有望な出発点となる。

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