論文の概要: Non-Clifford and parallelizable fault-tolerant logical gates on constant
and almost-constant rate homological quantum LDPC codes via higher symmetries
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.16982v1
- Date: Wed, 25 Oct 2023 20:33:59 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-27 23:23:39.192322
- Title: Non-Clifford and parallelizable fault-tolerant logical gates on constant
and almost-constant rate homological quantum LDPC codes via higher symmetries
- Title（参考訳）: 定数およびほぼ定数のホモロジー量子ldpc符号上の非クリフォードおよび並列化可能なフォールトトレラント論理ゲート
- Authors: Guanyu Zhu, Shehryar Sikander, Elia Portnoy, Andrew W. Cross, and
Benjamin J. Brown
- Abstract要約: 本研究では, 3次元多様体上に定式化されたホモロジー量子量子低密度パリティチェック符号群に対するフォールトトレラント量子計算について, 定値あるいはほぼ一定の符号化速度で検討する。
3次元多様体の3次元交叉不変量を計算するための一般形式法を開発した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3194391758295114
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study parallel fault-tolerant quantum computing for families of
homological quantum low-density parity-check (LDPC) codes defined on
3-manifolds with constant or almost-constant encoding rate. We derive generic
formula for a transversal $T$ gate of color codes on general 3-manifolds, which
acts as collective non-Clifford logical CCZ gates on any triplet of logical
qubits with their logical-$X$ membranes having a $\mathbb{Z}_2$ triple
intersection at a single point. The triple intersection number is a topological
invariant, which also arises in the path integral of the emergent higher
symmetry operator in a topological quantum field theory: the $\mathbb{Z}_2^3$
gauge theory. Moreover, the transversal $S$ gate of the color code corresponds
to a higher-form symmetry supported on a codimension-1 submanifold, giving rise
to exponentially many addressable and parallelizable logical CZ gates. We have
developed a generic formalism to compute the triple intersection invariants for
3-manifolds and also study the scaling of the Betti number and systoles with
volume for various 3-manifolds, which translates to the encoding rate and
distance. We further develop three types of LDPC codes supporting such logical
gates: (1) A quasi-hyperbolic code from the product of 2D hyperbolic surface
and a circle, with almost-constant rate $k/n=O(1/\log(n))$ and $O(\log(n))$
distance; (2) A homological fibre bundle code with $O(1/\log^{\frac{1}{2}}(n))$
rate and $O(\log^{\frac{1}{2}}(n))$ distance; (3) A specific family of 3D
hyperbolic codes: the Torelli mapping torus code, constructed from mapping tori
of a pseudo-Anosov element in the Torelli subgroup, which has constant rate
while the distance scaling is currently unknown. We then show a generic
constant-overhead scheme for applying a parallelizable universal gate set with
the aid of logical-$X$ measurements.
- Abstract（参考訳）: 本研究では, 並列フォールトトレラント量子コンピューティングを用いて, 一定あるいはほぼ安定な符号化速度で3次元多様体上に定義されたホモロジー量子低密度パリティチェック(LDPC)符号群について検討する。
一般3次元多様体上の色符号の逆数$T$ゲートは、論理量子ビットの任意の三重項上の集合非クリフォード論理CCZゲートとして作用し、その論理-$X$膜は1点に$\mathbb{Z}_2$三重交叉を持つ。
三重交叉数は位相不変量であり、位相的量子場理論における創発的高対称性作用素の経路積分、すなわち $\mathbb{z}_2^3$ ゲージ理論にも現れる。
さらに、カラーコードの逆数$S$ゲートは余次元-1部分多様体上で支持される高次対称性に対応しており、指数関数的に多くのアドレス可能かつ並列化可能な論理的CZゲートが生じる。
我々は3次元多様体の3次元交叉不変量を計算する汎用形式を考案し、また様々な3次元多様体の体積を持つベッチ数とシストルのスケーリングについて研究した。
We further develop three types of LDPC codes supporting such logical gates: (1) A quasi-hyperbolic code from the product of 2D hyperbolic surface and a circle, with almost-constant rate $k/n=O(1/\log(n))$ and $O(\log(n))$ distance; (2) A homological fibre bundle code with $O(1/\log^{\frac{1}{2}}(n))$ rate and $O(\log^{\frac{1}{2}}(n))$ distance; (3) A specific family of 3D hyperbolic codes: the Torelli mapping torus code, constructed from mapping tori of a pseudo-Anosov element in the Torelli subgroup, which has constant rate while the distance scaling is currently unknown.
次に、論理式-X$測定の助けを借りて並列化可能なユニバーサルゲートセットを適用するための一般的な定数オーバーヘッドスキームを示す。
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