論文の概要: Quantum particle in the wrong box (or: the perils of finite-dimensional approximations)

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.15889v1
• Date: Fri, 20 Dec 2024 13:39:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-23 19:50:56.724642
• Title: Quantum particle in the wrong box (or: the perils of finite-dimensional approximations)
• Title（参考訳）: 間違った箱の中の量子粒子(または有限次元近似の危険性)
• Authors: Felix Fischer, Daniel Burgarth, Davide Lonigro,
• Abstract要約: 広い種類の基底に対して、破れたハミルトニアンによって生成される力学は、常にディリクレ境界条件を持つ粒子に対応する粒子に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4260624980098286
• License:
• Abstract: When numerically simulating the unitary time evolution of an infinite-dimensional quantum system, one is usually led to treat the Hamiltonian $H$ as an ''infinite-dimensional matrix'' by expressing it in some orthonormal basis of the Hilbert space, and then truncate it to some finite dimensions. However, the solutions of the Schr\"odinger equations generated by the truncated Hamiltonians need not converge, in general, to the solution of the Schr\"odinger equation corresponding to the actual Hamiltonian. In this paper we demonstrate that, under mild assumptions, they converge to the solution of the Schr\"odinger equation generated by a specific Hamiltonian which crucially depends on the particular choice of basis: the Friedrichs extension of the restriction of $H$ to the space of finite linear combinations of elements of the basis. Importantly, this is generally different from $H$ itself; in all such cases, numerical simulations will unavoidably reproduce the wrong dynamics in the limit, and yet there is no numerical test that can reveal this failure, unless one has the analytical solution to compare with. As a practical demonstration of such results, we consider the quantum particle in the box, and we show that, for a wide class of bases (which include associated Legendre polynomials as a concrete example) the dynamics generated by the truncated Hamiltonians will always converge to the one corresponding to the particle with Dirichlet boundary conditions, regardless the initial choice of boundary conditions. Other such examples are discussed.
• Abstract（参考訳）: 無限次元量子系のユニタリ時間進化を数値的にシミュレートすると、通常、ハミルトニアン$H$をヒルベルト空間の正規直交基底で表現し、ある有限次元に切り離すことで'無限次元行列'として扱う。 しかし、トランケートされたハミルトニアンによって生成されるシュル・オーディンガー方程式の解は、一般に、実際のハミルトニアンに対応するシュル・オーディンガー方程式の解に収束する必要はない。 この論文では、穏やかな仮定の下で、彼らは特定のハミルトン方程式によって生成されるシュリンガー方程式の解に収束し、その基底の特定の選択に決定的に依存する: 基底の要素の有限線型結合の空間への$H$の制限のフリードリヒス拡大を示す。 重要なことに、これは一般に$H$それ自身と異なり、そのような場合、数値シミュレーションはその極限における間違った力学を必然的に再現するが、解析的な解を持っていなければ、この失敗を明らかにする数値的なテストは存在しない。 そのような結果の実際の実演として、ボックス内の量子粒子を考察し、(具体的な例としてルジャンドル多項式を含む)幅広い基底に対して、トランケートされたハミルトニアンによって生成される力学は、境界条件の初期の選択にかかわらず、常にディリクレ境界条件に対応する粒子に収束することを示した。 他にもこのような例が議論されている。

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